Модифицированный метод Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка и оценка его погрешности

Abstract

С помощью модифицированного метода Галеркина доказывается однозначная регулярная разрешимость краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Теория таких уравнений исходит из прикладных задач, в частности, трансзвуковой газовой динамики. Исследование проведено для случаев, когда вблизи нижнего основания цилиндрической области уравнение имеет эллиптический тип, а вблизи верхнего основания цилиндра - гиперболический или эллиптический тип. В последнем случае разрешимость этой краевой задачи ранее была изучена авторами с помощью другой методики, там впервые была сформулирована ее постановка. Кроме того, в настоящей работе получена оценка погрешности приближенных решений краевой задачи относительно точного решения через параметр регуляризации и собственные значения спектральной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. In this paper, we investigate the boundary value problem for the second order equation of mixed type with an arbitrary manifold of type changing. The theory of such equations is based on the applications, in particular, of the transonic gas dynamics. We study equation of elliptic type near the bottom of the cylindrical domain and the hyperbolic or elliptic type near the top of the cylindrical domain. The last case was formulated and studied by authors with another method in the early works. We proved an error estimate for the modified Galerkin method using the regularization parameter and eigenvalues of the Dirichlet problem for the Laplas equation.