Development of a Numerical Method for Solving the Inverse Cauchy Problem for the Heat Equation

Abstract

In this work, the initial temperature has been investigated in the Cauchy inverse problem for linear heat conduction equation that it depends on the given temperature at specification time. In this problem, the initial temperature distribution is unknown, but instead, there is a known temperature at the time, t = T > 0. The heat conduction problem can be formulated as Fredholm integral first kind equation. It is well known that this problem is an ill-posed problem and direct solution to this problem is unacceptable. An algorithm has been used to define a finite-dimensional operator for this problem also used the generalized discrepancy method to reduce the conditional extremum variation problem to unconditional extremum variation problem for the integral equation. The discretization of the integral equation has made it possible to reduce this problem to a system of linear algebraic equations. Then, Tikhonov’s regularization inversion method has been used to find an approximation solution. Finally, the numerical computation example has been presented to verify the accuracy of the estimated solution. В этой работе начальная температура была исследована в обратной задаче Коши для линейного уравнения теплопроводности, которая зависит от заданной температуры в заданное время с некоторыми шумовыми измерениями. В этой задаче начальное распределение температуры неизвестно, но вместо этого в то время известна температура, t=T > 0. Задачу теплопроводности можно сформулировать так, как интегральное уравнение первого рода Фредгольма. Хорошо известно, что эта проблема является некорректной задачей, и прямое решение этой проблемы неприемлемо. Алгоритм, используемый для определения конечномерного оператора для этой задачи, также использовал метод обобщенной несоответствия для уменьшения условной проблемы вариации экстремума к безусловной проблеме изменения экстремума для интегрального уравнения. Дискретизация интегрального уравнения позволила свести эту задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Тогда для решения аппроксимации использовался метод инверсии регуляризации Тихонова. Наконец, был представлен пример численного расчета для проверки точности оценочного решения.