Finite non-commutative associative algebras as carriers of hidden discrete logarithm problem

Abstract

The article introduces new finite algebras attractive as carriers of the discrete logarithm problem in a hidden group. In particular new 4-dimensional and 6-dimensional finite non-commutative algebras with associative multiplication operation and their properties are described. It is also proposed a general method for defining finite non-commutative associative algebras of arbitrary even dimension m > 2. Some of the considered algebras contain a global unit, but the other ones include no global unit element. In the last case the elements of the algebra are invertible locally relatively local bi-side units that act in the frame of some subsets of elements of algebra. For algebras of the last type there have been derived formulas describing the sets of the (right-side, left-side, and bi-side) local units. Algebras containing a large set of the global single-side (left-side and right-side) units and no global bi-side unit are also introduced. Since the known form of defining the hidden discrete logarithm problem uses invertibility of the elements of algebra relatively global unit, there are introduced new forms of defining this computationally difficult problem. The results of the article can be applied for designing public-key cryptographic algorithms and protocols, including the post-quantum ones. For the first time it is proposed a digital signature scheme based on the hidden discrete logarithm problem. Статья рассматривает новые конечные алгебры, представляющие интерес в качестве носителей задачи дискретного логарифмирования в скрытой группе. В частности, предложены новые 4-мерные и 6-мерные конечные некоммутативные алгебры с ассоциативной операцией умножения и описаны их свойства. Также предложен общий метод задания конечных некоммутативных ассоциативных алгебр произвольной четной размерности m > 2. Некоторые из рассмотренных алгебр содержат глобальную двухстороннюю единицу, а другие не содержат такой единицы. В последнем случае элементы алгебры обратимы локально относительно некоторой локальной двухсторонней единицы, действующей в рамках некоторого подмножества элементов алгебры. Для алгебр последнего типа выведены формулы, описывающие множества правосторонних, левосторонних и двухсторонних локальных единиц. Также представлены алгебры, содержащие большое множество глобальных левосторонних (правосторонних) единиц при отсутствии в них глобальной двухсторонней единицы. Поскольку известные формы задания крытой задачи дискретного логарифмирования используют обратимость элементов алгебры относительно глобальной двухсторонней единицы, были предложены новые формы задания этой вычислительно трудной задачи. Результаты статьи могут быть использованы для разработки криптографических алгоритмов и протоколов с открытым ключом, включая постквантовые криптосхемы. Впервые предложена схема цифровой подписи, основанная на скрытой задаче дискретного логарифмирования.