Exponential dichotomies in Barenblatt–Zheltov–Kochina model in spaces of differentialforms with “noise”

Abstract

We investigate stability of solutions in linear stochasticSobolev type models withthe relatively bounded operator in spaces of smooth differential forms defined on smoothcompact oriented Riemannian manifolds without boundary. To this end, in the space ofdifferential forms, we use the pseudo-differential Laplace–Beltrami operator instead of theusual Laplace operator. The Cauchy condition and the Showalter–Sidorov condition are usedas the initial conditions. Since “white noise” of the model is non-differentiable in the usualsense, we use the derivative of stochastic process in the sense of Nelson–Gliklikh. In order toinvestigate stability of solutions, we establish existence of exponential dichotomies dividingthe space of solutions into stable and unstable invariant subspaces. As an example, we usea stochastic version of the Barenblatt–Zheltov–Kochina equation in the space of differentialforms defined on a smooth compact oriented Riemannian manifold without boundary. Исследована устойчивость решений в линейных стохастических моделях соболевского типа с относительно ограниченным оператором в пространствах гладких дифференциальных форм, определенных на гладких компактных ориентированных римановых многообразиях без края. Для этого в пространстве дифференциальных формиспользуем вместо обычного оператора Лапласа псевдодифференциальный операторЛапласа – Бельтрами. В качестве начальных использованы условие Коши и условиеШоуолтера – Сидорова. В связи с недифферинцируемостью, в обычном понимании,имеющегося в модели≪белого шума≫используем производную стохастического процесса в смысле Нельсона – Гликлиха. Для исследования устойчивости решений устанавливаем наличие экспоненциальных дихотомий разделяющих пространство решений на устойчивое и неустойчивое инвариантные подпространства. В качестве примера используется стохастический вариант уравнения Баренблатта– Желтова – Кочиной в пространстве дифференциальных форм, определенных на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края.