Verification of Kolmogorov Equation Usability for Reproduction and Death Processes

Abstract

Моделирование широко используется в качестве основы для систем поддержки принятия решений. Многие производственные системы могут быть представлены в виде систем массового обслуживания, так как время обработки в них более существенно, чем сами технологические процессы. Программные модели, реализующие системы массового обслуживания, используются как для планирования, так и в целях оптимизации производства. Однако традиционно имитационное моделирование не считается применимым, если речь идет о создании нового научного результата, в частности, в научно-квалификационных работах. Аналитические выводы обычно опираются на уравнения Колмогорова или многочисленные модели, являющиеся производными от них. Однако остается открытым вопрос, можно ли так поступать при различных статистических распределениях случайных значений параметров. В этой статье исследуется применимость уравнения Колмогорова в простейшей системе массового обслуживания, модели гибели и размножения, с разными статистическими распределениями. Численные данные получены путем моделирования в средах AnyLogic и GPSS. Сравнение их с теоретическими выводами приводит к следующему практически важном результату. Обсуждаемая возможность появляется, только если статистические распределения являются экспоненциальными или близки к ним. При других распределениях расхождение между теоретическими результатами и результатами численного моделирования может достигать 60 %. Поскольку очень часто небольшое количество экспериментальных данных не позволяет обоснованно определить вид статистического распределения случайного числа, по умолчанию предполагается равномерное распределение. Однако в этом случае уравнения Колмогорова совершенно неприменимы для аналитического исследования системы. A simulation is widely used as a basis for decision support systems. Many production systems may be considered as queuing systems if a time of processes more valuable than their physical meaning. Program models realized queuing systems are used in a planning and in optimization targets. But results of program simulation are not suitable for scientific qualification works according to traditions. Analytical conclusions are made using Kolvogorovs’ equations and some models derived from the one usually. But a question about possibility of using them with widespread statistical distributions is not quite explored. In this article we investigate a possibility of using the Kolmogorov's equations on a simple reproduction and death queuing system with some distributions. Numerical data is obtained from program models realized in GPSS and AnyLogic. Theoretical results in comparison with numerical data lead us to a conclusion. The possibility is present only when all statistical distributions in the model are exponential or very close to exponential. Else average error between the theory and the model is above 60%. So far as a small experimental data typical for observations in production systems does not allow to determine own statistical distribution surely, an uniform distribution is accepted as default, and Kolmogorov’s equations could not be used