О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени

Abstract

Рассмотрена однородная задача Шварца для вектор-функций, аналитических по Дуглису. Данные функции являются решениями однородной эллиптической системы в частных производных первого порядка, которая зависит от матрицы с комплексными коэффициентами. Предполагается, что определитель комплексной части этой матрицы отличен от нуля. Показано, что реальная часть функции, аналитической по Дуглису, будет решением некоторой однородной системы второго порядка в частных производных. Зная решение задачи Дирихле для данной системы, можно построить решение задачи Шварца, соответствующее исходной матрице. Нужное решение задачи Дирихле ищем в виде вектор-полинома второй степени с линейно зависимыми компонентами. После подстановки такой функции в полученную систему уравнений в частных производных получаем однородную вещественную алгебраическую систему. Эта система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая к нулю соответствующий определитель, получаем алгебраическое уравнение с двумя переменными. Далее доказывается основная теорема о том, что существование произвольного ненулевого вещественного решения данного алгебраического уравнения является необходимым и достаточным условием существования соответствующего исходной матрице решения однородной задачи Шварца в виде векторполинома второй степени. В заключение статьи построен пример. A Schwartz homogeneous problem for vector functions being analytic as per Douglis in the final domain on plane has been considered. The function data are the solutions to a homogeneous elliptic partial-derivatives system of the first order, which depends on the matrix with complex coefficients. It is assumed that the determinant of the complex part of this matrix is different from zero. In the beginning of the article the solution to the problem under consideration is given for a bivariate case in the form of a vector polynomial of the second degree. Further transformations are made to find the general method of building such solutions. It is demonstrated that the real part of the function being analytic as per Douglis will be a solution for a certain homogeneous partial-derivatives system of the second order. Meanwhile, if we know the solution to the Dirichlet problem for this system, we can build the solution to the Schwartz problem, corresponding to the initial matrix. We are searching for the required solution to the Dirichlet problem in the form of a vector polynomial of the second degree with linearly-dependent components. After this function's substitution into the obtained system of partial-derivatives equations, we get a real homogeneous algebraic system. Such system will have nonzero solutions only in case its determinant is equal to zero. By setting the relevant determinant to zero, we get a two-variable algebraic equation. Further on, we prove a fundamental theorem that the existence of a real arbitrary nonzero solution to this algebraic equation is a necessary and sufficient condition of the existence the solution to the Schwartz homogeneous problem in the form of a vector polynomial of the second degree, corresponding to the initial matrix. In the end of the article we give an example of using the fundamental theorem to build two solutions to the studied problem, which correspond to the set matrix.