Об устойчивости квазиравновесий систем типа Келлера-Сегеля в сильно неоднородной среде

Abstract

Хорошо известно, что локальная бифуркация равновесия системы типа Патлака-Келлера-Сегеля (ПКС) часто оказывается первым звеном в цепи динамических переходов, приводящих к весьма сложным режимам движения. Однако, насколько нам известно, первые переходы исследованы лишь для однородных равновесий однородных (т.е. трансляционно инвариантных) систем. В настоящей статье рассмотрено влияние неоднородности. С этой целью введена система ПКС, моделирующая два вида, один из которых (хищник) способен искать другой (жертву). При этом помимо таксиса к жертве хищник наделён таксисом к некоторым характеристикам окружающей среды, например таким, как температура, солёность, рельеф местности и т. д., то есть хищник способен воспринимать внешний сигнал. Отключение последнего приводит к очень простой однородной системе типа ПКС, которая тем не менее может перейти от однородного равновесия к автоколебательным волновым движениям через локальную бифуркацию. Примечательно, что этот переход происходит безотносительно кинетики хищников, а лишь только благодаря таксису. Для исследования эффекта коротковолнового внешнего сигнала применена гомогенизация и на этой основе установлено, что коротковолновый сигнал обычно вызывает экспоненциальное снижение подвижности хищников по сравнению с однородной системой в ответ на увеличение уровня внешнего сигнала. Потеря подвижности в значительной степени предотвращает возникновение волн и резко стабилизирует примитивные квазиравновесия, полностью навязанные внешним сигналом. Можно сказать, что интенсивные мелкомасштабные колебания окружающей среды дезориентируют и отвлекают хищников и мешают им эффективно преследовать добычу. It is well known that a local bifurcation of the equilibrium of a system of Patlak-Keller-Segels’ type (PKS) often turns out to be the first link in the chain of dynamical transitions leading to rather complex regimes of motion. However, as far as we are aware, the studies of the first transition cover only the homogeneous equilibria of homogeneous (i.e. translationally invariant) systems. In this article, we consider the effect of inhomogeneity. For this purpose, we have been introducing a PKS system, modeling two species, one of which (predator) is capable of searching the other one (prey). In addition to the prey- taxis, the predator has been endowed with taxis driven by environmental characteristics, such as temperature, salinity, terrain relief, etc. In other words, the predator can perceive an external signal. When the external signal is off, then we get a very simple homogeneous PKS-type system, which is, nevertheless, capable of transiting from the homogeneous equilibrium to self-oscillatory wave motions via a local bifurcation. Notably, this transition does not involve the predator's kinetics, but the taxis only. We have been examining the short wavelength signals using the homogenization technique. It turns out that a short wavelength signal typically causes an exponential reduction of the predators' motility in comparison with the homogeneous system in response to the increase in the external signal level. The loss of motility to a great extent prevents the occurrence of the waves and dramatically stabilizes the primitive quasi-equilibria fully imposed by the external signal. It can be said that intense small-scale environmental fluctuations disorient and distract predators, and prevent them from effectively pursuing their prey.