Метод сопряжённого уравнения в задаче об определении источника диффузии

Abstract

Объектом исследования работы являются дифференциальные уравнения диффузии (теплопроводности). Предметом исследования является алгоритм определения функции источника или начальных условий задачи по экспериментально измеряемым величинам. В основу исследования положено двойственное представление функционалов, соответствующих экспериментально наблюдаемым величинам в процессах массо- и теплообмена. Обратная задача сформулирована в виде интегральных уравнений первого рода, ядром которых является сопряженная функция (функция ценности), получаемая как решение сопряженного в смысле Лагранжа уравнения диффузии (теплопроводности) с функцией чувствительности детектора в правой части. При этом решение сопряженных уравнений путем замены переменных сводится к решению прямых уравнений. Для регуляризации решения уравнения Вольтерры первого рода, соответствующего задаче восстановления зависимости граничного условия от времени, предложено использовать минимизацию невязки для переопределенной системы линейных уравнений. Задача восстановления зависимости начального условия от координаты сформулирована в виде уравнения Фредгольма I рода, для решения которого применен метод регуляризации Тихонова. Приведены результаты модельных расчётов по восстановлению временной зависимости источников, заданных гладкой функцией, ступенчатой функцией и функцией с гармонической составляющей в задаче об одномерной диффузии в однородной среде. Из этих результатов видно, что при выбранных параметрах расчетов полученные предлагаемым методом решения ведут себя регулярно и обладают вполне приемлемой точностью даже несмотря на то, что значения искомой функции на заданном интервале поиска изменяются на шесть порядков. В этом авторы видят главное отличие предложенного ими метода от других подходов к решению данной задачи. The objects of the research are differential equations of diffusion (or thermal conductivity) kind. The subject of research is the algorithm for determining the function of the source or the initial conditions of the problem as per the experimentally measured values. The approach is based on a dual representation of functionals corresponding to experimentally observed quantities in the processes of mass and heat transfer. The inverse problem is formulated in the form of integral equations of the first kind, the core of which is the adjoint function (importance function) obtained as a solution of the adjoint (in the Lagrange sense) diffusion (thermal conductivity) equation with the detector sensitivity function in the right-hand side. Meanwhile, solving the adjoint equations by changing the variables is reduced to solving direct equations. To regularize the solution of the Volterra equation of the first kind corresponding to the problem of recovering the dependence of the boundary condition on time, the residual minimization for an overdetermined system of linear equations has been proposed to be used. The problem of reconstructing the dependence of the initial condition on the coordinate is formulated as a Fredholm equation of the first kind, the solution to which has been obtained using the Tikhonov regularization method. The results of model calculations are presented for the restoration of the time dependence of the sources set by a smooth function, a step function and a function with a harmonic component in the problem of one-dimensional diffusion in a homogeneous medium. These results prove that with the selected calculation parameters, the solutions obtained by the proposed method behave regularly and have quite an acceptable accuracy, even though the values of the sought-for function within the set search interval change by six orders of magnitude. This is seen by the authors as the main difference of their method from other approaches to solving this problem.