Коммутация спектральных делителей квадратичного пучка

Abstract

Объектом изучения представленной работы являются квадратичные матричные пучки, другими словами, квадратичные функции комплексной переменной, коэффициентами которой являются эрмитовы матрицы. Такие функции естественным образом появляются при изучении различных задач механики, геофизики и техники. В частности, при описании колебательной системы масс-струн с демпферами коэффициенты пучка характеризуют жесткости пружин и заданные демпферы. В связи с этим особый интерес вызывают так называемые обратные задачи для матричных пучков, то есть задачи построения пучков, обладающих наперед заданными свойствами. В нашей работе изучается возможность построения квадратичных пучков, допускающих разложение на коммутирующие линейные множители. Хорошо известно, что любой квадратичный пучок может быть представлен в виде произведения линейных (не обязательно коммутирующих) множителей, называемых спектральными делителями. Далее в нескольких работах последнего десятилетия было изучено описание структуры одного спектрального делителя через структуру другого. Нами получен критерий, описывающий множество спектральных делителей, для каждого из которых существует коммутирующий с ним второй спектральный делитель. Для каждого элемента этого множества описана структура всех спектральных делителей, коммутирующих с ним. Приведен критерий единственности решения этой задачи. Заметим, что условия этого критерия могут быть проверены для любой заданной квадратной матрицы. Полученные результаты позволяют строить квадратичные пучки, допускающие разложение на коммутирующие спектральные множители. Без ограничения общности предполагается, что задан левый спектральный делитель. Случай, когда задан правый спектральный делитель, сводится к рассмотренной ситуации взятием операции сопряжения. The object of study of the presented work are quadratic matrix pencils, in other words, quadratic functions of a complex variable, the coefficients of which being the Hermitian matrices. Such functions naturally appear when different problems of mechanics, geophysics or engineering are being studied. In particular, when an oscillatory system of mass-strings with dampers is described, the pencil coefficients characterize the stiffness of the springs and the set dampers. In this context, the so called inverse prob-lems for matrix pencils are of special interest, that is, the problems of building pencils with preset prop-erties. In our work, we study the possibility of building quadratic pencils, allowing for commuting linear factorization. It is well known that any quadratic pencil may be presented as a product of linear (not necessarily commuting) factors, which are called spectral divisors. Henceforth, the description of the structure of one spectral divisor through the structure of another has been studied in several works of the recent decade. We have obtained the criterion, which describes a set of spectral divisors, for each one of which there exists a second commuting spectral divisor. For each element of this set, a structure of all spectral divisors, commuting with it, is described. The criterion of uniqueness of solution to this problem is given. We should note that the conditions of this criterion can be verified for any set quadratic matrix. The obtained results allow to build quadratic pencils, allowing for commuting spectral factorization. Without loss of generality, it is assumed that the left spectral divisor is set. The case when the right spec-tral divisor is set, is reduced to the considered situation through conjugation operation.