Собственные колебания вращающегося упругого стержня с демпфером

Abstract

Рассматриваются собственные колебания упругого стержня, находящегося в поле центробежных сил инерции и опирающегося на вязкоупругий демпфер. Эта математическая модель с достаточной для инженеров достоверностью описывает динамические процессы вращающихся лопаток турбин, рабочей части иглофрезы и прочих подобных механизмов. Постановка задачи о собственных значениях базируется на вариационном принципе и ставится в комплексной форме. Такой подход позволяет оценивать демпфирующую способность стержня через мнимую часть собственной частоты (коэффициент демпфирования), а также легко усложнять и варьировать параметры конструкции. Например, рассматривать стержень с переменным поперечным сечением или переменной плотностью по длине. Достоверность результатов методики в статье доказана путем сравнения их с имеющимися в литературе данными. Основным результатом следует считать, что для структурно-неоднородных конструкций (т.е. конструкций, состоящих из упругих и вязкоупругих элементов) можно при неизменной реологии демпфера увеличить интенсивность гашения колебаний за счет рационального выбора их геометрических или упругих параметров. Причем максимум поглощаемой энергии как в первом, так и во втором случае, определяют совместно коэффициенты демпфирования двух низших форм колебаний. Из принципа minmax следует, что в качестве глобального коэффициента демпфирования выступают поочередно коэффициенты демпфирования 1-й и 2-й форм колебаний. В точке экстремума наблюдается максимальное взаимодействие 2-х низших форм колебаний, в результате чего и наблюдается этот синергетический эффект. Очевидно, что в случае вынужденных колебаний подобранные параметры механической системы обеспечат минимальные резонансные амплитуды. We consider the self-oscillations of an elastic rod located in the field of centrifugal forces of inertia and based on a viscoelastic damper. This mathematical model, with the accuracy sufficient for engineers, describes the dynamic processes in the rotating turbine blades, in the working part of the wire brush, and in other similar mechanisms. The formulation of the eigenvalue problem is based on the variational principle and is put in a complex form. This approach makes it possible to estimate the damping ability of the rod through the imaginary part of the eigen frequency (damping coefficient), as well as to easily complicate and vary the design parameters. For example, a rod can be considered with variable cross-section or variable density along its length. In the article the validity of the method results is proved by comparing them with the data available in the literature. The following should be considered as the main result: for structurally inhomogeneous structures (i.e. structures consisting of elastic and viscoelastic elements), in case of a constant damper rheology, it is possible to increase the intensity of vibration damping due to rational selection of their geometric or elastic parameters. Meanwhile the maximum of the absorbed energy, both in the first and in the second case, is determined jointly by the damping coefficients of the two lower forms of oscillations. According to the minmax principle, the damping coefficients of the 1st and 2nd forms of oscillations act alternately as the global damping coefficient. At the extreme point there is a maximum interaction of 2 lower forms of oscillations, as a result of which this synergetic effect is observed. It is obvious that in the case of forced oscillations, the selected parameters of the mechanical system will provide minimal resonant amplitudes.