О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Abstract

Динамическая система, заданная дифференциальным уравнением на многообразии - фазовом пространстве системы, называется грубой, если топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Понятие грубости возникло из представления, что существенные свойства динамической системы, описывающей реальный процесс, не должны меняться при малых изменениях параметров системы. К настоящему времени получены естественные необходимые и достаточные условия грубости динамических систем на замкнутых многообразиях любой размерности. Однако если грубость рассматривать в более узких классах динамических систем, в частности, в пространстве систем, заданных дифференциальными уравнениями с полиномиальными правыми частями, то условия грубости не исследованы даже для малых размерностей фазового пространства. В настоящей работе рассматриваются динамические системы, заданные дифференциальными уравнениями, правые части которых являются тригонометрическими полиномами степени, не превосходящей натурального числа n. Фазовым пространством таких систем является окружность. Описаны уравнения, грубые относительно пространства E(n) всех таких уравнений. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого - гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве Е(n). В множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в E(n) и состоит из уравнений, для которых все нули правой части простые, за исключением одного двукратного нуля. Adynamical system defined by a differential equation on a manifold, the phase space of a system, is called structurally stable if the topological structure of the phase portrait does not change when passing to a close equation. The concept of structural stability emerged from the idea that the essential properties of a dynamical system describing a real process should not change with small changes in the parameters of the system. By now, natural necessary and sufficient conditions for structural stability of dynamical systems on closed manifolds of any dimension have been obtained. However, if we consider structural stability in narrower classes of dynamical systems, in particular, in the space of systems defined by differential equations with polynomial right-hand sides, the conditions of structural stability have not been studied even for small dimensions of the phase space. This paper considers the dynamic systems given by the differential equations, the right-hand parts of which are trigonometric polynomials of the degree not exceeding the number n. The phase space of such systems is a circle. We describe equations that are structurally stable with respect to the space E(n) of all such equations. An equation is structurally stable if and only if its right-hand side has only simple zeros, that is, all singular points of which are hyperbolic. The set of all structurally stable equations is open and is dense everywhere in the space E(n). In the set of all non-structurally-stable equations, an open, everywhere-dense subset consisting of equations that are first order structurally unstable is distinguished. It is an analytic submanifold of codimension one in E(n) and consists of equations for which all the zeros of the right-hand side are simple, except for one double zero.