Математическое моделирование нахождения значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости Орра – Зоммерфельда методом регуляризованных следов

Abstract

Рассматривается математическая модель вычисления значений собственных функций оператора Орра – Зоммерфельда. Используя метод регуляризованных следов, получены простые формулы, позволяющие находить значения первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Разработанные алгоритмы позволяют, вычислять значения собственной функции возмущенного оператора независимо от того, известны предыдущие значения собственной функции или нет. Получены оценки остатков сумм функциональных рядов «взвешенных» поправок теории возмущений дискретных операторов, и доказана их сходимость. Для вычислительной реализации метода, найдены эффективные алгоритмы нахождения «взвешенных» поправок теории возмущений, используя которые можно приближать суммы функциональных рядов Рэлея – Шредингера нужным количеством членов. Проведенные численные эксперименты вычисления значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости показывают, что метод хорошо согласуется с другими известными методами (А.Н. Крылова и А.М. Данилевского). Метод регуляризованных следов показал свою надежность и высокую эффективность. In this paper the mathematical model of computing the values of the eigenfunctions of the Orr-Sommerfeld’s operator. Using the method of regularized traces, we obtain simple formulas to find the values of the first eigenfunctions of the perturbed self-adjoint operators. The algorithms make it possible to calculate the values of the eigenfunction of the perturbed operators matter known to the previous values of their eigenfunctions or not. We obtain estimates of residual sums of functional series “weighted” perturbation theory corrections discrete operators, and prove their convergence. For the numerical implementation of the method found effective algorithms for finding “weighted” perturbation theory corrections, which can be approximated using the sum of series of functions of Rayleigh- Schrodinger right amount of members. The numerical experiments computing the values of eigenfunctions of hydrodynamic stability theory show that the method is consistent with other known methods (A.N. Krylov and A.M. Danilevsky). The method of regularized traces showed its reliability and high efficiency.