О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения

Abstract

В работе устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами, частным случаем которого является классическое телеграфное уравнение. Установление корректной разрешимости математических задач является одним из основных условий при их численной реализации. Как известно, для классического телеграфного уравнения решение задачи Коши находится в классе дважды непрервно дифференцируемой функции и с помощью метода Римана выписывается в явном виде. Однако, при этом вопрос устойчивости решения в зависимости от начальных данных, требующий использования соответствующих метрических пространств в этих работах не обсуждается. Между тем этот вопрос является наиболее важным при корректной численной реализации решения задачи, когда его существование и единственность доказаны. В настоящей заметке методами теории полугрупп линейных преобразований, устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши в пространствах функций интегрируемых с экспоненциальным весом для некоторого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Получено точное решение задачи Коши и указаны условия на коэффициенты, при которых задача раномерно корректна в некоторых функциональных пространствах. Следствием из этих результатов является равномерная корректность задачи Коши для классического телеграфного уравнения с постоянными коэффициентами. This paper establishes the uniform well-posedness of the Cauchy problem for generalized telegraph equations with variable coefficients, of which the classical telegraph equation is a particular case. The well-posedness of a mathematical problem is one of the main requirements for its numerical solution. For the classical telegraph equation, Riemann's method enables us to solve the Cauchy problem in the class of twice continuously differentiable functions explicitly. The question of stability of the solution in dependence on the initial data, which requires us to work in suitable metric spaces, usually is not discussed; however, it appears to be one of the most important questions once the existence and uniqueness of the solution are known. In this note we use the theory of continuous semigroups of linear operators to establish the uniform well-posedness of the Cauchy problem in the spaces of integrable functions with exponential weight for several classes of differential equations with variable coefficients. We obtain the exact solution to the Cauchy problem and indicate conditions on the coefficients ensuring that the problem is uniformly well-posed in certain functional spaces. These results imply the uniform well-posedness of the Cauchy problem for the classical telegraph equation with constant coefficients.