Статика и динамика стержня при продольном нагружении

Abstract

Дается краткий обзор работ по статической и динамической устойчивости тонкого стержня под действием осевого сжатия. При линейном подходе критическая нагрузка при статическом сжатии найдена Л. Эйлером. В работе М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского установлено, что при интенсивном нагружении, существенно превосходящем эйлерову статическую критическую нагрузку, наибольшую скорость роста амплитуды поперечного прогиба имеет форма с большим числом волн в продольном направлении. Последующие исследования связаны с учетом распространения продольных волн по длине стержня. Исследованы условия возникновения параметрических резонансов, установлена возможность потери устойчивости при нагрузке, меньшей эйлеровой. При квази-линейном подходе обнаружен эффект возникновения биений с переходом энергии продольных колебаний в поперечные и наоборот. При длительном воздействии с нагрузкой, превосходящей эйлерову, как линейный, так и квазилинейный подход не приводит к конечным значениям амплитуды поперечных перемещений. Поэтому используется нелинейный подход. Исследуется развитие закритических деформаций стержня и отмечается связь картины деформирования с эффектом, обнаруженным Лаврентьевым и Ишлинским, с одной стороны, и с эластиками Эйлера - с другой. A short review of works about static and dynamical stability of a thin rod under axial compression is given. By using linear static approach a critical compression has been found by L. Euler. In the paper of M.A. Lavrentiev and A.Y. Ishlinsky it has been established that at intensive loading which essentially exceeds the Eulerian one, the maximum growth of the lateral deflection corresponds to the mode with a large number of waves in the longitudinal direction. The following researches are connected with the longitudinal waves influence. The conditions of parametric resonances appearing and also the cases of stability loss under load less than the Eulerian one are found. Under quasi-linear approach the beating effect with energy transition from longitudinal vibrations into transversal ones and vice versa is established. At a long-time action of the load exceeding the Eulerian one both linear and quasi-linear approaches do not lead to finite values of transversal amplitude. That is why the non-linear approach is used and the growth of the post-critical deformations of the rod is studied. The connection of the deformation picture with the effect discovered by M.A. Lavrentiev and A.Y. Ishlinsky with the Eulerian elastics is marked.