Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений

Abstract

Знание динамических характеристик жидкости в гидроциклонах и диффузорах имеет большое значение для задачи оптимизации технических характеристик проточных частей турбинных насосов, участвующих в перекачке нефти по магистральным трубопроводам. Описание же динамических характеристик жидкости в этих устройствах можно получить на основе имеющихся аналитических выражений для решений модельных уравнений гидродинамики или их упрощенных вариантов, используемых в подобных задачах. Как показывает практика, получаемые из уравнения Навье - Стокса редуцированные (упрощенные) уравнения гидродинамического типа позволяют достаточно точно моделировать течения жидкости в областях произвольных геометрических форм. В данной статье использован подход, связанный с функциональной редукцией уравнения Гельмгольца, в случае плоского диффузорного течения, к краевой задаче для ОДУ Джеффри - Гамеля (посредством подстановки Гамеля). При конечных значениях числа Рейнольдса установлена возможность построения приближений к решениям редуцированного уравнения через нелинейную аппроксимацию Галеркина - Ритца — по одной из (вариационных) версий метода Ляпунова - Шмидта. Посредством такой аппроксимации можно сколь угодно точно определять поле скоростей частиц жидкости и, как следствие, извлекать информацию о таких свойствах течения, как его диффузорность или конфузорность на отдельных участках. В статье приведены примеры графических изображений приближенно вычисленных эпюр скоростей для течений, близких к n-модовым, n < 5. To know the dynamic characteristics of liquid in hydrocyclones and diffusers is important for optimizing the technical parameters of the liquid ends of turbine pumps on long-distance oil pipelines. It is possible to describe these characteristics by using the available analytic expressions for the solutions to the model equations of hydrodynamics or their simplified versions used in these problems. It is known that the simplified systems of hydrodynamic type derived from the Navier - Stokes equation allow us to model quite precisely liquid flows in regions of arbitrary geometric shape. In this article we reduce the Helmholtz equation in the case of a flat diffuser flow to a boundary value problem for the Jeffrey - Hamel ODE by means of the Hamel substitution. At finite values of the Reynolds number we establish the possibility of constructing approximate solutions to the reduced equation via nonlinear Ritz - Galerkin approximation using a variational version of the Lyapunov - Schmidt method. With this approximation, we can determine the liquid velocity field to arbitrary precision. The article includes examples of approximately computed velocity diagrams for the flows close to n modl with n < 5.