Об одной полулинейной математической модели соболевского типа высокого порядка

Abstract

В статье исследуется полулинейная математическая модель Соболевского типа высокого порядка с относительно спектрально ограниченным оператором. Данная математическая модель строится на основе уравнения Соболевского типа высокого порядка и условий Коши. В работе используются метод фазового пространства и теория относительно p-ограниченных операторов, разработанные Г.А. Свиридюком. При исследовании невырожденной математической модели используется подход, предложенный С. Ленгом; в статье он обобщается на дифференциальные уравнения высокого порядка. В работе рассмотрено два случая. В первом, когда оператор при старшей производной по времени является непрерывно обратимым, используются методы теории дифференцируемых банаховых многообразий и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши. Во втором случае, когда оператор при старшей производной по времени имеет нетривиальное ядро. Как известно, задача Коши для уравнений Соболевского типа принципиально не разрешима при произвольных начальных данных. В связи с этим возникает задача построения фазового пространства уравнения как множества допустимых начальных значений, содержащего решения уравнения, и изучения его морфологии. В данной работе для вырожденного уравнения строится локальное фазовое пространство. This article studies a semilinear Sobolev-type mathematical model whose operator is relatively spectrally bounded. The mathematical model consists of a semilinear Sobolevtype equation of high order and initial conditions. We apply the phase space method and the theory of relatively spectrally bounded operators developed by Sviridyuk. We use Leng's method for nondegenerate equations and extend it to higher-order equations. The two cases are considered in this article. In the first case the operator L at the highest time derivative is continuously invertible, and we prove the uniqueness of solutions to the initial value problem using the theory of Banach manifolds. In the second case L has nontrivial kernel and it is known that the initial value problem with arbitrary initial data has no solution. This raises the problem of constructing and studying the phase space for the equation as the set of admissible initial data containing solutions to the equation. We construct the local phase space for the degenerate equation.