Ломаные Эйлера и диаметр разбиения

Abstract

В работе исследуются условия, которые нужно наложить на правую часть системы для того, чтобы при достаточно малом диаметре разбиения ломаные Эйлера сходились к пучку решений системы, в частности, чтобы из всякой последовательности ломаных Эйлера можно было выделить сходящуюся на всем рассматриваемом промежутке времени к решению подпоследовательность. Найдено условие (для заданной, выписываемой явно, константы, для любой липшицевого с этой константой отображения в фазовую плоскость, множество точек разрыва функции динамики имеет нулевую по Лебегу меру на графиках таких отображений), которое гарантирует сходимость ломаных Эйлера к пучку решений системы, если только диаметр соответствующих ломаным разбиений стремится к нулю. Рядом примеров показано, что данное условие не может быть ослаблено; в частности, сходимости может не быть даже если для всякой порожденной в рамках системы траектории сужение функции динамики на этот график интегрируемо по Риману, константа в указанном выше условии также не может быть уменьшена. В работе ломаные Эйлера погружаются в семейство решений интегрального уравнения с запаздыванием специального вида, для которых в свою очередь, и проводится доказательство основного результата. Вследствие этого, результаты статьи имеют место и в более широком классе численных методов, например для ломаных со счетным числом звеньев. We study the conditions on right-hand side of a system that guarantee the convergence of Euler's broken lines to the funnel of solutions of the system for sufficiently small diameter of partition; in particular, the condition that lets us select a subsequence from any sequence of Euler's broken lines that would converge to the solution on a given time interval. We obtain the condition that guarantees the convergence of Euler's broken lines to the funnel of solutions of the system as the diameter of partitions corresponding to the broken lines tends to zero. The condition is specified for a given explicit constant such that for any mapping that is Liepshitz continuous with this constant and maps onto the phase plane, the set of points of discontinuity has the zero Lebesgue measure (on the graph of this mapping). Several examples are given to demonstrate that this condition cannot be relaxed; specifically, there may be no convergence even if, for each trajectory generated by the system, the restriction of the dynamics function to that graph is Riemann integrable; the constant from the condition above can never be decreased either. In the paper, Euler's broken lines are embedded into the family of solutions of delay integral equations of the special form, for which, in its own turn, the main result of the paper is proved. It is due to this fact that the results of the paper hold for a broader class of numerical methods, for example, for broken lines with countable number of segments.