On the mean-value property for polyharmonic functions

Abstract

The mean-value property for normal derivatives of polyharmonic function on the unit sphere is obtained. The value of integral over the unit sphere of normal derivative of mth order of polyharmonic function is expressed through the values of the Laplacian’s powers of this function at the origin. In particular, it is established that the integral over the unit sphere of normal derivative of degree not less then 2k¡1 of k-harmonic function is equal to zero. The values of polyharmonic function and its Laplacian’s powers at the center of the unit ball are found. These values are expressed through the integral over the unit sphere of a linear combination of the normal derivatives up to k ¡ 1 degree for the k-harmonic function. Some illustrative examples are given. Получено свойство среднего для нормальных производных от полигармонической функции по единичной сфере. Значение интеграла от нормальных производных по единичной сфере от полигармонической функции выражается через значения степеней лапласианов от этой функции в начале координат. В частности, установлено, что интеграл по единичной сфере от нормальных производных k-гармонической функции порядка не меньше 2k - 1 равен нулю. Найдены значения полигармонической функции и лапласианов от нее в центре единичного шара. Это значение выражается через интеграл по единичной сфере от линейной комбинации нормальных производных до k - 1 порядка для k-гармонической функции. Приведены иллюстративные примеры.