On some mathematical models of filtration theory

Abstract

The article is devoted to the study of some mathematical models arising in filtration theory. We examine an inverse problem of determining an unknown right-hand side and coeffcients in a pseudoparabolic equation of the third order. Equations of this type and more general Sobolev-type equations arise in filtration theory, heat and mass transfer, plasma physics, and in many other felds. We reduce the problem to an operator equation whose solvability is established with the help of a priori estimates and the fixed point theorem. Together with the natural smoothness conditions for the data, we require also some well-posedness condition to be fulfiled which is actually reduced to the condition of nondegeneracy of some matrix constructed with the use of the data of the problem. Theorems on existence and uniqueness of solutions to this problem are stated and proven. Stability estimates are exposed. In the linear case the result is global in time, while in the nonlinear case it is local. The main function spaces used are the Sobolev spaces. Работа посвящена рассмотрению обратных задач для некоторых математических моделей, возникающих в теории фильтрации. Мы рассматриваем обратную задачу об определении неизвестной правой части и коэффициентов в псевдопараболическом уравнении третьего порядка. Уравнения такого типа и более общие уравнения Соболевского типа возникают в теории фильтрации, при описании процессов тепло и массо- переноса, физике плазмы и во многих других областях. Задача сводится к некоторому операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априopных оценок и теоремы о неподвижной точке. Кроме естественных условий гладкости данных, мы требуем также выполнения некоторого условия корректности, которое по существу сводится к условию невырожденности некоторой матрицы, построенной по данным задачи. Формулируются и доказзываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи. Приводится оценка устойчивости. В линейном случае результат является глобальным по времени, а в нелинейном локальным по времени. В качестве основнсновных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева.