A model of "nonadditive" routing problem where the costs depend on the set of pending tasks

Abstract

Рассматривается следующий (усложненный) вариант маршрутной задачи "на уз кие места": исследуется задача последовательного обхода мегаполисов, осложненная условиями предшествования и тем, что функции стоимости (перемещений и внутренних работ) могут явным образом зависеть от списка заданий, которые не выполнены на данный момент. Процесс перемещений рассматривается в виде совокупности этапов, включающих внешнее перемещение к соответствующему мегаполису и последующее выполнение (внутренних по смыслу) работ, связанных с данным мегаполисом. Качество совокупного процесса оценивается максимумом стоимостей составляющих его этапов; рассматривается задача на минимум упомянутого критерия (получается задача на минимакс, обычно именуемая задачей "на узкие места"). Для построения оптимального решения в виде пары маршрут-трасса (трасса, или траектория, соответствует конкретному варианту прохождения мегаполисов, нумеруемых в соответствии с маршрутом, определяемым в виде перестановки индексов) построен "нестандартный" вариант метода динамического программирования, при реализации которого не используется, в случае ограничений в виде условий предшествования, построение всего массива значений функции Беллмана. We consider a generalization of the bottleneck (minimax) routing problem. The problem is to successively visit a number of megalopolises, complicated by precedence of constraints imposed on the order of megalopolises visited and the fact that the cost functions (of movement between megalopolises and of interior tasks) may explicitly depend on the list of tasks that are not completed at the present time. The process of movement is considered to be a sequence of steps, which include the exterior movement to the respective megalopolis and the following completion of (essentially interior) jobs connected with the megalopolis. The quality of the whole process is represented by the maximum cost of steps it consists of; the problem is to minimize the mentioned criterion (which yields a minimax problem, usually referred to as a "bottleneck problem"). Optimal solutions, in the form of a route-track pair (a track, or trajectory, conforms to a specific instance of a tour over the megalopolises, which are numbered in accordance with the route; the latter is defined by the transposition of indices), are constructed through a "nonstandard" variant of the dynamic programming method, which allows to avoid the process of constructing of all the values of the Bellman function whenever precedence constraints are present.