Weighted Trudinger - Moser inequalities and applications

Abstract

Неравенства Трудингера - Мозера обеспечивают непрерывные вложения в пограничных случаях стандартных вложенияй Соболева, в которых вложения в пространствах Лебега Lp отсутствуют. В этом случае приходится рассматривать их естественные обобщения, которые являются вложениями в пространства Орлича соответствующих функциям максимального роста, экспоненциального типа. При описании этих функций роста возникают некоторые параметры. Диапазоны параметров, для которых существуют вложения, можно увеличить с помощью введения весов в нормах Соболева, что и приводит к рассмотрению весовых неравенств ТМ. Представлены некоторые интересные случаи со специальными весами в двумерной области, с приложением к уравнениям среднего поля типа Лиувилля. Trudinger Moser inequalities provide continuous embeddings in the borderline cases of the standard Sobolev embeddings, in which the embeddings into Lebesgue Lp spaces break down. One is led to consider their natural generalization, which are embeddings into Orlicz spaces with corresponding maximal growth functions which are of exponential type. Some parameters come up in the description of these growth functions. The parameter ranges for which embeddings exist increase by the use of weights in the Sobolev norm, and one is led to consider weighted TM inequalities. Some interesting cases are presented for special weights in dimension two, with applications to mean eld equations of Liouville type.