On the regularizability conditions of integral equations

Abstract

Решение интегральных уравнений первого рода представляет собой некорректную задачу. Как известно, все задачи можно разбить на три непересекающихся класса: корректные задачи, некорректные регуляризуемые задачи, некорректные нерегуляризуемые задачи. Задачи из первого класса настолько хороши, что метод регуляризации для них не нужен. Задачи третьего класса настолько плохи, что метод регуляризации к ним не применим. Естественным полем применения метода регуляризации являются задачи второго класса. Но как узнать, что данное интегральное уравнение принадлежит ко второму, а не к третьему классу. Для этого было построено большое количество достаточных условий регуляризуемости. В данной статье исследуется одна бесконечная серия достаточных условий регуляризуемости интегральных уравнений, построенных с помощью теории двойственности банаховых пространств. Этот метод построения достаточных условий показал свою эффективность при решении некорректных задач. Доказано, что эти условия являются попарно не эквивалентными, даже если ограничиться уравнениями с гладкими симметричными ядрами. Solving of integral equations of the rst kind is an ill-posed problem. It is known that all problems can be divided into three disjoint classes: correct problems, ill-posed regularizable problems and ill-posed not regularizable problems. Problems of the rst class are so good that no regularization method for them is needed. Problems of the third class are so bad that no one regularization method is applicable to them. A natural application eld of the regularization method is the problems from the second class. But how to know that a particular integral equation belongs to the second class rather than to the third class? For this purpose a large number of su cient regularizability conditions were constructed. In this article one in nite series of su cient conditions for regularizability of integral equations constructed with the help of duality theory of Banach spaces is investigated. This method of constructing of su cient conditions proved to be e ective in solving of ill-posed problems. It is proved that these conditions are not pairwise equivalent even if we are restricted by the equations with the smooth symmetric kernels.