An integral method for the numerical solution of nonlinear singular boundary value problems

Abstract

В статье предложены численные методы решения нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, заданного на полуоси и неразрешенного относительно главной части. Такие задачи описывают плотность микроскопических пузырьков в неоднородной жидкости. В связи с тем, что исходное нелинейное дифференциальное уравнение неразрешено относительно главной части, и краевая задача рассматривается на полуоси, то ранее разработанные подходы являются сложными и требуют значительных вычислительных затрат. Именно этот факт послужил мотивацией для данной статьи, где мы описываем альтернативный подход, в котором предложено записать исходную задачу в виде интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра с особенностью в ядре. Итак, исходную задачу мы записали в виде интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра с сингулярным ядром и, в виду специфики исходной задачи, условием на правом конце. Численное интегрирование таких уравнений также достаточно сложная задача. В данной работе мы предлагаем специальные методы решения таких уравнений первого и второго порядков. Приведены численные расчеты модельных примеров по предлагаемым алгоритмам. Данные расчеты показали перспективность дальнейшего развития такого подхода. We discuss the numerical treatment of a nonlinear singular second order boundary value problem in ordinary di erential equations, posed on an unbounded domain, which represents the density pro le equation for the description of the formation of microscopic bubbles in a non-homogeneous uid. Due to the fact that the nonlinear di erential equation has a singularity at the origin and the boundary value problem is posed on an unbounded domain, the proposed approaches are complex and require a considerable computational e ort. This is the motivation for our present study, where we describe an alternative approach, based on the reduction of the original problem to an integro-di erential equation. In this way, we obtain a Volterra integro-di erential equation with a singular kernel. The numerical integration of such equations is not straightforward, due to the singularity. However, in this paper we show that this equation may be accurately solved by simple product integration methods, such as the implicit Euler method and a second order method, based on the trapezoidal rule. We illustrate the proposed methods with some numerical examples.