On some properties of solutions to one class of evolution Sobolev type mathematical models in quasi-Sobolev spaces

Abstract

Интерес к уравнениям Соболевского типа за последнее время существенно вырос, более того возникла необходимость их рассмотрения в квазибанаховых пространствах. Причем необходимость диктуется не столько желанием пополнить теорию, сколько стремлением осмыслить неклассические модели математической физики в квазибанаховых пространствах. Заметим еще, что уравнения Соболевского типа называются эволюционными, если их решения существуют только на полуосиМ+. Теория голоморфных вырожденных полугрупп операторов, построенная ранее в банаховых пространствах и пространствах Фреше, переносится в квазисоболевы пространства последовательностей. Статья содержит результаты о существовании экспоненциальных дихотомий решений эволюционного уравнения Соболевского типа в квазисоболевых пространствах. Для получения этого результата доказана относительно спектральная теорема и существование инвариантных пространств уравнения. Статья кроме введения и списка литературы содержит два параграфа. В первом определяются квазибанаховы (квазисоболевы) пространства и многочлены от квазиоператора Лапласа. Более того, приводятся условия существования вырожденных голоморфных полугрупп операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей. Другими словами, доказывается первая часть обобщения теоремы Соломяка- Иосиды на квазибанаховы пространства последовательностей. Во втором параграфе строится фазовое пространство однородного уравнения, а также показывается существование инвариантных пространств уравнения. Кроме того, получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений. Interest in Sobolev type equations has recently increased signi cantly, moreover, there arose a necessity for their consideration in quasi-Banach spaces. The need is dictated not so much by the desire to ll up the theory but by the aspiration to comprehend nonclassical models of mathematical physics in quasi-Banach spaces. Notice that the Sobolev type equations are called evolutionary if solutions exist only on R+. The theory of holomorphic degenerate semigroups of operators constructed earlier in Banach spaces and Frechet spaces is transferred to quasi-Sobolev spaces of sequences. This article contains results about existence of the exponential dichotomies of solutions to evolution Sobolev type equation in quasi-Sobolev spaces. To obtain this result we proved the relatively spectral theorem and the existence of invariant spaces of solutions. The article besides the introduction and references contains two paragraphs. In the rst one, quasi-Banach spaces, quasi-Sobolev spaces and polynomials of Laplace quasioperator are de ned. Moreover the conditions for existence of degenerate holomorphic operator semigroups in quasi-Banach spaces of sequences are obtained. In other words, we prove the rst part of the generalization of the Solomyak Iosida theorem to quasi-Banach spaces of sequences. In the second paragraph the phase space of the homogeneous equation is constructed. Here we show the existence of invariant spaces of equation and get the conditions for exponential dichotomies of solutions.