Разрешимость обратной начально-краевой задачи с известным значением на прямой

Abstract

Определения либо ядра, либо правых частей интегродифференциальных уравнений, или значения либо начальных, либо краевых условий для интегро-дифференциальных уравнений, либо определения правой части для интегро-дифференциального уравнения с переопределением во внутренней точке по дополнительной информации о решении исходной задачи называют обратными задачами. Математические модели современных проблем геофизики, океанологии, атмосферы, физики, техники и других наук описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. Предлагаемая статья посвящена разрешимости обратной задачи, т. е. восстановлению ядра в начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с известным значением искомого решения на прямой x = x0, 0 < x0 < 1, то есть с переопределением во внутренней прямой. Нами впервые доказана существование и единственность решения рассматриваемой обратной задачи. Для достижения поставленной цели нами использованы известные методы: метод сведения обратной задачи к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, метод функций Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. При решении поставленной обратной задачи найдены достаточные условия существования и единственность решения обратной задачи по восстановлению ядра в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка. Сначала с помощью преобразований и функции Грина исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее с помощью методов теории обратных задач составляются три интегральных уравнения Вольтерра второго рода и доказывается существование и единственность решения систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода. The definitions of either the kernel or the right-hand sides of integro-differential equations, or the values of either the initial or boundary conditions for integro-differential equations or the definition of the right-hand side for an integro-differential equation with over determination at an interior point based on additional information about the solution of the original problem is called inverse problems. Mathematical models of modern problems of geophysics, oceanology, atmosphere, physics, technology and other sciences are described using integro-differential equations with partial derivatives of the fourth order. The present article is devoted to the solvability of the inverse problem, that is, the recovery of the kernel in the initial-boundary value problem for a fourth-order integro-differential equation with partial derivatives with a known value of the desired solution on the straight line x = x0, 0 < x0 < 1, that is, with a new definition in the inner line. The authors have proved for the first time the existence and uniqueness of the solution of the inverse problem under consideration. Well-known methods are used to achieve this goal: the method of reducing the inverse problem to a linear integral Volterra equation of the second kind, the method of Green's functions for ordinary differential equations of the second order with homogeneous boundary conditions. When solving the formulated inverse problem, sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of the inverse problem of recovering the kernel in a fourth order partial integro-differential equation are found. First, using transformations and the Green's function, the original problem is reduced to an equivalent problem, for which a theorem on the existence and uniqueness of a solution is proved. Further, using the methods of the theory of inverse problems, three Volterra integral equations of the second kind are compiled and the existence and uniqueness of the solution of systems of Volterra integral equations of the second kind are proved.