Экспериментальное сравнение алгоритмов в параллельном многоуровневом методе вложенных сечений

Abstract

В прямых методах решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений применяется процедура переупорядочения строк и столбцов исходной матрицы. Целью данной процедуры являет- ся сокращение числа ненулевых элементов в процессе последующей численной факторизации. Нахождение перестановки, минимизирующей число ненулевых элементов в факторе, является NP-полной задачей. Для решения этой задачи применяются эвристические методы. Результаты применения данных методов могут быть оценены как с точки зрения качества получаемых перестановок (заполнение фактора матрицы после переупорядочения), так и с точки зрения временных затрат на построение перестановок. Многоуровневый метод вложенных сечений, показывающий достаточно хорошие результаты по обоим критериям, является одним из наиболее распространенных методов переупорядочения. Метод имеет определенные ресурсы внутреннего параллелизма, активно используемые в ряде реализаций (ParMETIS, mtMETIS, PT-SCOTCH, PMORSy). Вместе с тем, низкая арифметическая интенсивность, нерегулярный доступ к памяти, дисбаланс вычислительной нагрузки и необходимость поиска компромисса между временем работы и качеством перестановок мотивируют дальнейшие исследования метода. В данной работе выполняется сравнение ряда алгоритмов, применяемых на разных этапах метода вложенных сечений, с точки зрения их влияния на заполнение фактора и время работы в параллельном случае. Реализация алгоритмов и эксперименты выполнены в рамках ранее разработанной параллельной библиотеки переупорядочения матриц PMORSy, опережающей аналоги на ряде матриц коллекции университета Флориды. В результате выполненной работы удалось выделить наиболее перспективную комбинацию алгоритмов и улучшить качество перестановок и время работы PMORSy. Direct methods for solving large sparse systems of linear equations make use of reordering of rows and columns of the original matrix. The goal of this procedure is to reduce the fill-in during the subsequent numerical factorization. Finding the ordering with the minimum fill-in is NP-complete. Heuristic methods are used to solve this problem. These methods can be evaluated for both quality (fill-in) and time to obtain an ordering. The multilevel nested dissection method performs reasonably well in terms of both criteria and is one of the most widely used reordering methods. The method has some parallelization potential, which is utilized in several implementations (ParMETIS, mtMETIS, PT-SCOTCH, PMORSy). However, low arithmetic intensity, irregular memory access pattern, workload imbalance and the trade-off between run time and quality motivates further investigation of the method. This paper presents the comparison of the algorithms used on several stages of the multilevel nested dissection method in terms of fill-in and run time on a parallel system. The implementation and experiments are done using the parallel PMORSy library, which outperforms competitors on some matrices from the University of Florida sparse matrix collection. As the result we distinguish the most promising combination of the algorithms and improve the quality and performance of PMORSy.