Численный подход к оценке погрешности некорректных задач

Abstract

Модуль непрерывности обратного оператора приводит к минимизации невыпуклого функционала. На практике модуль непрерывности может быть вычислен для очень узкого класса задач. Главной трудностью при его вычислении является коммутируемость входящих в задачу операторов. Так как это условие в реальных задачах редко выполняется, то возникла необходимость в численных алгоритмах для оценки погрешности. Предложен численный алгоритм для оценки приближенного решения операторного уравнения первого рода, полученного методом невязки, не использующий модуль непрерывности обратного оператора. Показано, что эта оценка погрешности не хуже оценки, использующей модуль непрерывности обратного оператора. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора. The modulus of continuity of the inverse operator leads to minimization of nonconvex functions. In practice, the modulus of continuity can be calculated for a very narrow class of problems. The main difficulty in the calculation is the commutation members of the task operators. Since this condition in a real application is rarely executed, it became necessary in numerical algorithms for error estimation. In this paper we consider a numerical algorithm to evaluate the approximate solution of operator equations of the first kind obtained by the method of residuals not taking into account the modulus of continuity of the inverse operator. It is shown that this error estimate is not worse than the estimation using the modulus of continuity of the inverse operator. The proposed approach can significantly extend the class of problems to which it is applicable and to obtain the accuracy of the estimation, not inferior to that which could be obtained by using the modulus of continuity of the inverse operator.