Аппроксимация областей достижимости нелинейных дифференциальных управляемых динамических систем

Abstract

Рассматривается задача построения и аппроксимации областей достижимости нелинейной дифференциальной управляемой динамической системы. В качестве объекта исследования в работе рассматривается класс систем, динамика которых описывается с помощью векторных нелинейных дифференциальных уравнений. В первой части работы производится последовательное преобразование исследуемой динамической системы, включающее в себя линеаризацию ее относительно наперед заданной опорной фазовой траектории и последующая дискретизация полученного в процессе линеаризации результата. Таким образом, исходной нелинейной модели объекта ставится в соответствие ее некоторая линейная дискретная аппроксимация. В работе предполагается, что в силу естественных причин фазовый вектор рассматриваемой динамической системы и управляющий параметр стеснены геометрическими ограничениями, которые имеют вид выпуклых, замкнутых и ограниченных многогранников с конечным числом вершин. Построение областей достижимости производится с помощью общего рекуррентного алгебраического метода и его модификации. В заключительной части работы эффективность данного алгоритма демонстрируется на примере модели, описывающей динамику относительного движения двух космических аппаратов (система уравнений Клохесси – Уилтшира) и модели, описывающей взаимодействие двух видов типа «хищник – жертва» (модель Лотки – Вольтерры). Для каждого из проведенных экспериментов приведены результаты компьютерного моделирования и сравнительный анализ точности полученной аппроксимации областей достижимости для конкретных нелинейных дифференциальных управляемых динамических систем с помощью областей достижимости соответствующих линейных дискретных управляемых динамических систем, которые были вычислены с помощью общего рекуррентного алгебраического метода построения областей достижимости и его модификации. This paper considers the problem of reachable sets computation and approximation for nonlinear differential controlled dynamical system. The object of study is the class of controlled dynamical systems described by vector nonlinear differential equations. Firstly, the system under study is sequentially transformed using linearization along reference trajectory and discretization of this linearized system. Thus, the initial nonlinear model is associated with its linear discrete-time approximation. In this paper it is assumed that the state vector of a system and the control action are constrained by geometrical sets, i.e. by convex, closed and limited polyhedra with finite number of vertices because of natural causes. The reachable set computation is implemented using general recursion algebraic method and its modification. The final section of the work provides the simulation results on few examples of relative motion of two spacecrafts (Clochessy-Wiltshire system of equations) and predator-prey system (Lotka-Volterra model). For each example the computer simulation results and comparative analysis of the reachable sets approximation accuracy for a specific nonlinear differential dynamical system using the reachable sets of corresponding linear discrete-time dynamical systems, which was constructed with the general recursion algebraic method of reachable sets computation and its modification.