Аннотации:
Рассматривается краевая задача для тригармонического уравнения в
единичном шаре, содержащая в граничных условиях степени лапласиана до
второго порядка включительно и нормальную производную. Эта задача является естественным продолжением в стиле Неймана задачи Рикье для тригармонического уравнения. Задача, более общая, чем рассматриваемая, но
для бигармонического уравнения была ранее исследована В.В. Карачиком и
Б. Торебеком. С помощью сведения исходной краевой задачи к системе трех
дифференциальных уравнений третьего порядка в гармонических в единичном шаре функций найдено необходимое и достаточное условие разрешимости исходной краевой задачи типа Неймана. Это условие получено в
виде равенства нулю интеграла по единичной сфере от одной из граничных
функций задачи. Кроме того, метод доказательства теоремы позволяет
строить решение рассматриваемой задачи типа Неймана в явном виде.
Также в работе установлено, что решение исходной краевой задачи единственно с точностью до произвольной постоянной. A boundary-value problem for 3-harmonic equation in a unit ball, containing in the boundary conditions
the Laplacian levels up to the second order inclusively, and the normal derivative, is considered.
This problem is a natural Neumann-type continuation of the Riquier problem for a 3-harmonic equation.
The problem is more general than the considered one, but it has been researched before by V.V. Karachick
and B. Torebek for a biharmonic equation. By the means of reducing the initial boundary-value
problem to a system of three differential equations of the third order in harmonic equations in a unit ball
of functions, the necessary and sufficient condition for solvability of the initial Neumann-type boundaryvalue
problem is discovered. This condition is obtained as a vanishing of the integral over the unit
sphere from one of the boundary functions of the problem. Besides, the method of theorem proof allows
framing the solution of the considered Neumann-type problem in an explicit form. Moreover, it is determined
in the article that solution of the initial boundary-value problem is unique up to an arbitrary
constant.
Описание:
И.А. Гулящих,
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация
E-mail: giarist@mail.ru. I.A. Gulyashikh
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation
E-mail: giarist@mail.ru