Некоторые модели оптимальных траекторий сближения космического аппарата с астероидом

Abstract

Движение космического аппарата рассматривается в области, находящейся вне сфер действия планет Солнечной системы, гравитационное действие астероида определяется в рамках ограниченной задачи двух тел. Постановка динамической задачи выполнена для поступательного движения космического аппарата относительно астероида с учетом собственного вращения небесного тела. Построение оптимальных траекторий в задаче сближения космического аппарата с астероидом выполняется методами вариационного исчисления. Сформулирована вариационная задача с ограничениями на управление в виде неравенств, решение которой построено путем сведения задачи к классической постановке по методу Валентайна. Даны решения уравнений Эйлера - Лагранжа для вариационной задачи с функционалом, связанным с расходом топлива реактивных двигателей. Получены численно-аналитические решения для частных случаев в условиях пренебрежения гравитацией астероида, рассматриваемых без учета кориолисовых сил инерции космического аппарата и с учетом этих сил. Оптимальное управление, полученное в этих решениях, является непрерывным (гладким или кусочногладким) или кусочно-непрерывным с одной или несколькими точками переключения, в зависимости от параметров задачи. Для обоснования оптимальности использованы условия Лежандра. Рассмотрено влияние начальных параметров движения космического аппарата, времени полета, величины максимальной тяги и величины угловой скорости астероида на вид управления и траектории. Представленный в статье метод изучения движения космического аппарата вблизи астероида позволяет получить численные оценки параметров полета, которые могут быть использованы при планировании миссии сближения. We consider the optimal trajectories in the rendezvous problem calculated by calculus of variations techniques. We formulate the problem of translational motion of the spacecraft taking the asteroid rotation into consideration. The motion is supposed to occur outside of a sphere of influence of any planet, the gravity of the asteroid is defined like the one in the restricted two-body problem. We represent the equations of controlled motion in central gravity field and construct the calculus of variations problem, given the control constraints. The problem is solved applying Valentine’s method. We solve the Euler-Lagrange equations generated from the functional related to the fuel consumption and show the solutions in the special case of neglecting the asteroid gravity, both taking and not taking the Coriolis force into consideration. The optimal control in these solutions is occurred to be twofold: continuous (either smooth and piecewise smooth one) and piecewise continuous one, having one or more points of jump discontinuities. In case of these discontinuities the Weierstrass-Erdmann condition is applied. The optimality is validated by the Legendre condition. We note the way the control function and the trajectory change while varying some of the parameters of the problem: the initial speed, the flight duration, the control limit, the angular velocity of the asteroid. The de- scripted method allows one to evaluate some parameters of the flight which may be used in the rendezvous mission planning.