Inverse spectral problems and mathematical models of continuum mechanics

Abstract

The article contains results in the field of spectral problems for mathematical models with discrete semi-bounded operator. The theory is based on linear formulas for calculating the eigenvalues of a discrete operator. The main idea is to reduce spectral problem to the Fredholm integral equation of the first kind. A computationally efficient numerical method for solving inverse spectral problems is developed. The method is based on the Galerkin method for discrete semi-bounded operators. This method allows to reconstruct the coefficient functions of boundary value problems with a high accuracy. The results obtained in the article are applicable to the study of problems for differential operators of any order. The results of a numerical solution of the inverse spectral problem for a fourth- order perturbed differential operator are presented. We study some mathematical models of continuum mechanics based on spectral problems for a discrete semi-bounded operator. Статья носит обзорный характер и содержит результаты в области спектральных задач для математических моделей с дискретным полуограниченным оператором. В основу теории положены линейные формулы вычисления собственных чисел дискретного оператора и редукция рассматриваемых спектральных задач к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Разработанный на основе метода Галеркина вычислительно эффективный численный метод решения обратных спектральных задач для дискретных полуограниченных операторов позволяет с высокой точностью восстанавливать коэффициентные функции краевых задач. Полученные результаты применимы при исследовании задач для дифференциальных операторов любого порядка. Приведены результаты численного решения обратной спектральной задачи для возмущенного дифференциального оператора четвертого порядка. Проведено исследование некоторых математических моделей механики сплошной среды на основе спектральных задач для дискретного полуограниченного оператора.