Случайное поведение участника как способ максимизации вероятности его выигрыша в парадоксе Монти Холла

Abstract

Статья посвящена решению парадокса Монти Холла средствами теории принятия решений и имитационного моделирования. Задача представляет собой трехшаговую последовательность действий участника и ведущего. Цель участника - угадать, за какой из трех дверей находится ценный приз. На первом шаге он выбирает одну из трех дверей, на втором шаге ведущий открывает одну дверь без приза, на третьем шаге участник должен определиться, сохранить ли выбор с первого шага или сменить его. Задача имеет почти полувековую историю, и все это время интерес к ней со стороны математиков и психологов не ослабевает. Причина заключается в противоречащем интуитивным соображениям решении и, как следствие, крайней неэффективности человеческого поведения в рассматриваемой ситуации. Традиционно задача рассматривается как вероятностная, реже - игровая. Мы применили альтернативный подход и рассмотрели ее как задачу принятия решения. Для этого были определены варианты поведения участников ситуации и их вероятностные оценки и построено дерево решений задачи. Его концевые вершины определили множество исходов ситуации. Их вероятностная оценка была сформирована в предположении, что участник на третьем шаге сохраняет свой выбор с первого шага с произвольной постоянной вероятностью. Эта вероятность является аргументом общей вероятности выигрыша, построенной на основании формулы полной вероятности события. Максимизация функции вероятности выигрыша позволила определить оптимальное поведение участника, которое состоит в смене выбора. Поскольку здравый смысл подсказывает, что менять выбор бессмысленно, полученный результат был проверен путем имитационного моделирования ситуации при различных вероятностях сохранения участником выбора и подсчета относительных частот выигрышей при сохранении и смене участником своего выбора. Проведенный компьютерный эксперимент полностью подтвердил полученный теоретически результат, что позволило сделать вывод о правильности полученного решения. In the issue we consider Monty Hall Dilemma. We use decision making approach and computer simulation to solve it. Monty Hall Dilemma is a three step problem involving a participant, a host and three doors with a valuable prize behind one of them and worthless prizes behind two others. The participant should guess where it is to win the valuable prize. After the participant makes an initial choice for one door, the host opens a non-chosen door with a worthless prize behind it. Then the participant is asked whether he wants to stay with his initial choice, or to switch to the remaining unopened door. The problem is quite old and still of much interest for mathematicians and psychologists because of counterintuitive solution and most humans erroneous situation behavior. Traditionally Monty Hall Dilemma is considered as a probability or a game theory problem. We choose an alternative approach and solve it as a decision making task. We determine possible participant’s and host’s actions and their probabilities and construct a problem decision tree. Its leaf nodes represent the situation outcomes. Then we evaluate the outcomes probabilities assuming that the participant sticks to his initial choice with a constant unknown probability. It allowed us to construct a total winning probability function. Its maximization allowed us to determine that an optimal participant behavior is to switch. We also performed computer simulation to verify our theoretical solution.