Tabulation of prime projections of links in the thickened surface of genus 2 with no more than 4 crossings

Abstract

In this article, we present the result of the first step of tabulation of prime links in the thickened surface of genus 2 that admit diagrams with no more than 4 crossings. Namely, we describe all three steps of tabulation of prime link projections in the surface of genus 2 with no more than 4 crossings. First, we define primality of a link projection in the surface of genus 2. Second, we tabulate prime link projections in the surface of genus 2 with no more than 4 crossings. For this purpose, it is sufficient to consider graphs having special type and enumerate all possible embeddings of the graphs into the surface of genus 2 giving prime link projections. At this step, we prove some auxiliary statements to simplify enumeration of the embeddings. Finally, we show that all obtained projections are nonequivalent in the sense of homeomorphism of the surface of genus 2 onto itself. Our main result states that there exist exactly 15 pairwise nonequivalent prime link projections in the surface of genus 2 with no more than 4 crossings. Several new and known tricks allow rigorously theoretically prove the completeness of the obtained tabulation, as well as to keep the process within reasonable limits. Further, we intend to use the obtained table to classify prime diagrams, i.e. to obtain table of prime links. Мы представляем первый этап табуляции примарных зацеплений в утолщенном кренделе рода 2, имеющих диаграммы с не более чем 4 перекрестками, а именно, приводятся все три этапа классификации примарных проекций зацеплений на кренделе рода 2, имеющих не более чем 4 перекрестка. Сначала мы вводим понятие примарности проекции зацепления на кренделе рода 2. Затем мы строим таблицу примарных проекций зацеплений на кренделе рода 2, имеющих не более чем 4 перекрестка. Для этого мы перечисляем графы специального вида и рассматриваем все возможные вложения этих графов в крендель рода 2, которые приводят к примарым проекциям. С целью сокращения перечисления таких вложений мы доказываем несколько вспомогательных утверждений. В конце работы мы показываем различность всех полученных проекций в смысле гомеоморфизма кренделя рода 2 на себя. Наш основной результат состоит в том, что существует ровно 15 попарно неэквивалентных примарных проекций зацеплений на кренделе рода 2 с не более чем 4 перекрестками. Ряд новых и известных приемов позволили строго теоретически доказать полноту построенной таблицы и удержать процесс перебора в разумных пределах. Полученная классификация проекций будет использована для проведения классификации примарных диаграмм, т. е. построения таблицы примарных зацеплений.