Исследование параметров задачи сплайновой аппроксимации зашумленных данных численными методами оптимального управления

Abstract

В настоящее время проблемы искажения данных измерений шумом и появления неопределенностей в критериях качества послужили причиной повышенного интереса к исследованиям в области сплайновой аппроксимации. При этом существующие методы минимизации эмпирического риска, предполагая, что шум является равномерным распределением с более тяжелыми хвостами, чем гауссов, ограничивают области применения данных исследований. Проблема оценки искаженных шумом данных, как правило, основывается на решении оптимизационной задачи с функцией, содержащей неопределенность, возникающей на основе задачи поиска оптимальных параметров. В связи с этим оценка искаженных шумов не может быть разрешена классическими методами. Цель исследования. Данное исследование направлено на решение и анализ задачи сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости на основе параметризации управления и алгоритма проекции градиента. Методы. Исследование задачи сплайновой аппроксимации зашумленных данных проведено методом приближения кусочно-постоянной функции управления. При этом параметризация управления возможна только при конечном числе точек разрыва первого рода. В рамках экспериментального исследования применен алгоритм метода проекции градиента для численного решения задачи сплайновой аппроксимации. Предложенные методы применены для исследования параметров задачи сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости. Результаты. Численное исследование подхода к параметризации управления и алгоритма проекции градиента проведено на основе разработанного программно-алгоритмического средства для решения задачи сплайновой модели аппроксимации в условиях неопределенности. Для оценки искаженных шумом данных проведены численные эксперименты по исследованию параметров модели и установлено, что повышение значения параметра α ведёт к увеличению точности, но к потере гладкости. Кроме того, проведенный анализ показал, что рассмотренные законы распределения не изменили точность и скорость сходимости алгоритма. Заключение. Предложенный подход для решения задачи сплайновой аппроксимации в условиях неопределенности позволяет определить проблемы искажения данных измерений шумом и появления неопределенностей в критериях качества. Исследование параметров модели показало, что построенная система устойчива к ошибке начального приближения, а законы распределения не оказывают существенного влияния на точность и сходимость метода проекции градиента. Currently, the problems of distortion of measurement data by noise and the appearance of uncertainties in quality criteria have caused increased interest in research in the field of spline approximation. At the same time, existing methods of minimizing empirical risk, assuming that the noise is a uniform distribution with heavier tails than Gaussian, limit the scope of application of these studies. The problem of estimating noise-distorted data is usually based on solving an optimization problem with a function containing uncertainty arising from the problem of finding optimal parameters. In this regard, the estimation of distorted noise cannot be solved by classical methods. Aim. This study is aimed at solving and analyzing the problem of spline approximation of data under uncertainty conditions based on the parametrization of control and the gradient projection algorithm. Methods. The study of the problem of spline approximation of noisy data is carried out by the method of approximation of the piecewise constant control function. In this case, parametrization of the control is possible only for a finite number of break points of the first kind. In the framework of the experimental study, the gradient projection algorithm is used for the numerical solution of the spline approximation problem. The proposed methods are used to study the parameters of the problem of spline approximation of data under conditions of uncertainty. Results. The numerical study of the control parametrization approach and the gradient projection algorithm is based on the developed software and algorithmic tool for solving the problem of the spline approximation model under uncertainty. To evaluate the noise-distorted data, numerical experiments were conducted to study the model parameters and it was found that increasing the value of the parameter α leads to an increase in accuracy, but a loss of smoothness. In addition, the analysis showed that the considered distribution laws did not change the accuracy and convergence rate of the algorithm. Conclusion. The proposed approach for solving the problem of spline approximation under uncertainty conditions allows us to determine the problems of distortion of measurement data by noise and the appearance of uncertainties in the quality criteria. The study of the model parameters showed that the constructed system is stable to the error of the initial approximation, and the distribution laws do not significantly affect the accuracy and convergence of the gradient projection method.