On evolutionary inverse problems for mathematical models of heat and mass transfer

Abstract

This article is a survey. The results on well-posedness of inverse problems for mathematical models of heat and mass transfer are presented. The unknowns are the coefficients of a system or the right-hand side (the source function). The overdetermination conditions are values of a solution of some manifolds or integrals of a solution with weight over the spatial domain. Two classes of mathematical models are considered. The former includes the Navier–Stokes system, the parabolic equations for the temperature of a fluid, and the parabolic system for concentrations of admixtures. The right-hand side of the system for concentrations is unknown and characterizes the volumetric density of sources of admixtures in a fluid. The unknown functions depend on time and some part of spacial variables and occur in the right-hand side of the parabolic system for concentrations. The latter class is just a parabolic system of equations, where the unknowns occur in the righthand side and the system as coefficients. The well-posedness questions for these problems are examined, in particular, existence and uniqueness theorems as well as stability estimates for solutions are exposed. Представлены результаты о корректности обратных задач для математических моделей тепломассопереноса. Неизвестными являются правая часть в уравнении (функция источников) и коэффициенты уравнения. Условия переопределения – значения решения на некоторых многообразиях или в отдельных точках. Рассматриваются два класса математических моделей. Первая включает систему уравнений Навье – Стокса, дополненную параболическим уравнением для температуры и параболической системой для концентраций примесей. Правая часть неизвестна и характеризует объемную плотность источников в жидкости. Неизвестные функции зависят от времени и части пространственных переменных и входят в правую часть уравнения. Второй класс систем – параболическая система уравнений уравнений для концентраций переносимых веществ, где неизвестные входят как в правую часть так и саму систему в качестве коэффициентов. Показана корректность этих задач, в частности полученные теоремы существования, единственности и оценки устойчивости для решений. Далее, мы опишем некоторые алгоритмы решения обратных задач о восстановлении точечных источников по точечным данным переопределения, основанные на асимптотике решений функций Грина соответствующих эллиптических задач.