Об одной задаче управления движущейся тележкой с находящимся на ней упругим стержнем

Abstract

Рассматривается задача управления процессом продольных колебаний упругого однородного стержня постоянного сечения. Под стержнем понимается тело, длина которого значительно превышает его поперечные размеры. Стержень лежит на движущейся тележке, правый конец которого жестко закреплен, а левый конец свободен. Трение между стержнем и поверхностью тележки в рассматриваемой задаче отсутствует. При движении тележки стержень совершает вынужденные продольные колебания в неинерциальной системе отсчета связанной с тележкой. Управлением является ускорение тележки, величина которого ограничена. Границы ее допустимых значений заданы. Величина совокупности внешних сил, действующих на стержень, точно не известна, а заданы только её границы изменения. Цель процесса управления заключается в том, чтобы в заданный момент времени среднее значение величины растяжения стержня находилось в заданном промежутке. Это среднее значение вычисляется с помощью заданной функции. Для решения поставленной задачи был применен метод оптимизации гарантированного результата. Был осуществлен переход к новой одномерной переменной, с помощью которой рассматриваемая задача управления продольными колебаниями стержня была сведена к однотипной задаче управления при наличии помехи. Это позволило найти необходимые и достаточные условия, при которых можно осуществить выполнение поставленной цели при любой допустимой совокупности внешних сил, суммарная величина которых удовлетворяет заданным ограничениям. Предложен соответствующий алгоритм построения закона изменения ускорения тележки. Разобран пример, наглядно показывающий, как строится управление тележкой, гарантирующее достижение поставленной цели. This article discusses the problem of controlling the process of longitudinal oscillations of an elastic homogeneous rod of uniform cross section. A rod is understood as a body, the length of which significantly exceeds its cross dimensions. The rod is on a moving cart, the right end of which is rigidly fixed, and the left end is not fixed. There is no friction between the rod and the cart surface in the problem under consideration. When the cart moves, the rod performs constrained longitudinal oscillations in a noninertial frame of reference associated with the cart. The control is the acceleration of the cart, the magnitude of which is limited. The boundaries of its accepted values are set. The value of the combined external forces acting on the rod is not known exactly, but only its limits of variation are given. The purpose of the control process is to ensure that at a given moment in time, the average value of the stretch of the rod is within a given interval. This average is calculated using the specified function. In order to solve the problem, the method of optimizing a guaranteed result is applied. A transition to a new one-dimensional variable is made, with the help of which the considered problem of control of the longitudinal oscillations of a rod is reduced to a similar control problem in the presence of noise. The necessary and sufficient conditions are found, under which it is possible to accomplish the set goal for any admissible external forces, the total value of which satisfies the given constraints. A corresponding algorithm for constructing the law of variation of the cart acceleration is proposed. An example that clearly shows how to build the cart control, which will guarantee the achievement of the set goal, has been analyzed.