On one equation of internal waves

Abstract

The Cauchy–Dirichlet problem is considered for the equation of internal waves. This equation has various applications in hydrodynamics, for example, in the study of waves in the ocean. The article provides an analytical study of one equation of internal waves. This equation characterizes propagation of waves in a homogeneous incompressible stratified fluid. The equation of internal waves is reduced to an abstract semilinear Sobolev type equation of the second order. The study of the equation is carried out within the framework of the theory of polynomially bounded operator pencils. In this work, we construct propagators for the equation of internal waves. Also, we present two model examples, where the domain D is represented in the form of a cylinder and a parallelepiped. The result of the work is an analytical solution to the considered cases for the equation of internal waves. В статье приводится аналитическое исследование одного уравнения внутренних волн, в некоторых источниках именуемое уравнением Пуанкаре, выведенное из основной системы гидродинамики. Данное уравнение характеризует распространение волн в толще однородной несжимаемой стратифицированной и, в отличии от уравнения Соболева, невращающейся жидкости. Рассмотрен случай, когда частота плавучести есть величина постоянная. Для уравнения внутренних волн рассматривается задача Коши–Дирихле. Данное уравнение имеет различные приложения в гидродинамике, например, при исследовании волн в океане. Исследование уравнения проводится в рамках теории полиномиально ограниченных пучков операторов. Уравнение внутренних волн редуцируется к задаче Коши абстрактному полулинейному уравнению соболевского типа второго порядка. Затем показывается, что решение поставленной задачи удовлетворяет абстрактной теории. Далее рассмотрены два примера. В первом примере область ограничена параллелепипедом, а во втором – цилиндром. Для каждого случая области показано, что относительный спектр пучка операторов ограничен, частотой плавучести. После строятся пропагаторы, разрешающие оператор-функции, для уравнения внутренних волн для каждой из областей. Подставив начальные данные в пропагаторы, получим аналитическое решение задачи Коши для уравнения внутренних волн.