Аннотации:
The article contains a review of the results obtained in the scientific school of Georgy
Sviridyuk in the field of semilinear Sobolev type mathematical models. The paper presents
results on solvability of the Cauchy and Showalter–Sidorov problems for semilinear Sobolev type equations of the first, the second and higher orders, as well as examples of non-classical models of mathematical physics, such as the generalized Oskolkov model of nonlinear filtering, propagation of ion-acoustic waves in plasma, propagation waves in shallow water, which are studied by reduction to one of the above abstract problems. Methods for studying the semilinear Sobolev type equations are based on the theory of relatively p-bounded operators for equations of the first order and the theory of relatively polynomially bounded operator pencils for equations of the second and higher orders in the variable t. The paper uses the phase space method, which consists in reducing a singular equation to a regular one defined on some subspace of the original space, to prove existence and uniqueness theorems, and the Galerkin method to construct an approximate solution. Статья содержит обзор результатов, полученных в научной школе Георгия Анатольевича Свиридюка, в области полулинейных математических моделей соболевского типа. В работе приведены результаты о разрешимости задачи Коши и Шоуолтера – Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа первого, второго и высокого порядков, а также примеры неклассических моделей математической физики, такие, как обобщенная модель нелинейной фильтрации Осколкова, распространения ионно-акустических волн в плазме, распространения волн на мелкой воде, которые исследуются путем редукции к одной из вышеперечисленных абстрактных задач. Методы исследования полулинейных уравнений соболевского типа базируется на теории относительно p-ограниченных операторов для уравнений первого порядка по переменной t и теории относительно полиномиально ограниченных пучков операторов для уравнений второго и высокого порядка по переменной t. В работе применяется метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства, для доказательства теорем существования и единственности и метод Галеркина для построения приближенного решения.
Описание:
A.A. Zamyshlyaeva1, E.V. Bychkov1
1South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation
E-mail: zamyshliaevaaa@susu.ru, bychkovev@susu.ru
Алена Александровна Замышляева, доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра ≪Прикладная математика и программирование≫, Южно-
Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация),
zamyshliaevaaa@susu.ru.
Евгений Викторович Бычков, кандидат физико-математических наук, кафедра
≪Уравнения математической физики≫, Южно-Уральский государственный универ-
ситет (г. Челябинск, Российская Федерация), bychkovev@susu.ru.