Задачи Шоуолтера–Сидорова и Коши для линейного уравнения Дзекцера с краевыми условиями Вентцеля и Робена в ограниченной области

Abstract

Рассмотрены детерминированная и стохастическая начально-краевые задачи для уравнения Дзекцера, описывающего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости, в ограниченной области и гладкой границей. На границе области заданы условия Вентцеля и Робена, в качестве начального условия берется либо условие Шоуолтера–Сидорова, либо условие Коши. Отметим, что для изучаемой модели фильтрации рассматривается условие Вентцеля, которое не является классическим. За последние годы в математической литературе краевое условие рассматривается с двух точек зрения (классическом и неоклассическом). Поскольку начальные условия Коши и Шоуолтера–Сидорова изучались ранее в различных ситуациях, в работе, в частном случае классических условий Вентцеля и Робена методами теории вырожденных голоморфных по-лугрупп построены точные решения, которые позволяют определять количественные прогнозы изменения геохимического режима грунтовых вод при безнапорной фильтрации. В стохастическом случае использована теория производной Нельсона–Гликлиха. В частности, исследования поставленных задач в контексте краевых условий Вентцеля позволило определить процессы, протекающие на границе двух сред (в области и на ее границе). Deterministic and stochastic initial boundary value problems for the Dzekzer equation de-scribing the evolution of the free surface of a filtering fluid in a bounded region with a smooth boundary are considered. Wentzell and Robin conditions are set on the boundary of the domain, and either the Showalter-Sidorov condition or the Cauchy condition is taken as the initial condition. Note that for the filtration model under study, the Wentzell condition is considered, which is not a classical condition. In recent years, the boundary condition has been considered in the mathematical literature from two points of view (classical and neoclassical). Since Cauchy and Showalter–Sidorov initial conditions have been studied earlier in various situations, in this work, in the particular case of classical Wentzell and Robin conditions, by methods of the theory of degenerate holomorphic semigroups, exact solutions have been constructed, which allow to determine quantitative predictions of changes in geochemical regime of groundwater under unpressurized filtration. Nelson–Glicklich derivative theory was used in stochastic case. In particular, the investigation of the set problems in the context of Wentzell boundary conditions allowed to determine the processes occurring at the boundary of two media (in the region and at its boundary).