Классификация периодических дифференциальных уравнений по степеням негрубости

Abstract

Дифференциальное уравнение вида x' = f(t, x) c правой частью f(t, x), имеющей непрерывные производные до r–го порядка включительно, 1-периодической по t, мы отождествляем с функцией f и рассматриваем как элемент банахова пространства Er таких функций с Сr –нормой. Уравнение f определяет динамическую систему на цилиндрическом фазовом пространстве. Уравнение f называется грубым, если любое достаточно близкое к нему уравнение топологически эквивалентно f, то есть имеет ту же топологическую структуру фазового портрета. Уравнение f имеет k-ю степень негрубости, если любое достаточно близкое к нему негрубое уравнение либо имеет степень негрубости меньшую k, либо топологически эквивалентно f. В работе описано множество уравнений k-й степени негрубости (k < r), показано, что оно образует вложенное подмногообразие коразмерности k в Er, открыто и всюду плотно в множестве всех негрубых уравнений, не имеющих степень негрубости меньшую k. A differential equation of the form x' = f(t, x) with the right part f(t, x) having continuous derivatives up to r-th order inclusive, 1-periodic in t, we identify with the function f and consider as an element of the Banach space Er of such functions with the Cr-norm. The equation f defines a dynamical system on a cylindrical phase space. An equation f is called rough if any equation close enough to it is topologically equivalent to f, that is, it has the same topological structure of the phase portrait. An equation f has the k-th degree of non-roughness if any non-rough equation sufficiently close to it either has a degree of non-roughness less than k, or is topologically equivalent to f. The paper describes the set of equations of the k-th degree of non-roughness (k < r), shows that it form an embedded submanifold of codimension k in Er, are open and everywhere dense in the set of all non-rough equations that do not have a degree of non-roughness less than k.