Numerical method for solving the inverse problem of non-stationary flow of viscoelastic fluid in the pipe

Abstract

The process of unsteady flow of incompressible viscoelastic fluid in a cylindrical tube of constant cross-section is considered. To describe the rheological properties of a viscoelastic fluid, the Kelvin–Voigt model is used and the mathematical model of this process is presented as an integro-differential partial differential equation. Within the framework of this model, the problem is to determine the pressure drop along the length of the pipe, which ensures the passage of a given flow rate of viscoelastic fluid through the pipe. This problem belongs to the class of inverse problems related to the recovery of the right parts of integro-differential equations. By replacing variables, the integro-differential equation is transformed into a third-order partial differential equation. First, a discrete analog of the problem is constructed using finite-difference approximations. To solve the resulting difference problem, we propose a special representation that allows splitting the problems into two mutually independent second-order difference problems. As a result, an explicit formula is obtained for determining the approximate value of the pressure drop along the length of the pipeline for each discrete value of the time variable. Based on the proposed computational algorithm, numerical experiments were performed for model problems. Рассматривается процесс нестационарного течения несжимаемой вязкоупругой жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. Для описания реологических свойств вязкоупругой жидкости используется модель Кельвина – Фойгта и математическая модель данного процесса представляется в виде интегро-дифференциального уравнения в частных производных. В рамках данной модели поставлена задача определения перепада давления по длине трубы, обеспечивающего пропуск заданного расхода вязкоупругой жидкости по трубе. Поставленная задача относится к классу обратных задач, связанных с восстановлением правых частей интегро-дифференциальных уравнений. Путем замены переменных интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных. Сначала строится дискретный аналог задачи с использованием конечно-разностных аппроксимаций. Для решения полученной разностной задачи предлагается специальное представление, позволяющее расщепить задачи на две взаимно независимых разностные задачи второго порядка. В результате получена явная формула для определения приближенного значения перепада давления по длине трубопровода при каждом дискретном значении временной переменной. На основе предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач.