Двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии

Abstract

Приводятся описание и анализ параллельных алгоритмов решения начально- краевых задач для уравнений аномальной диффузии, содержащих производные дробного порядка типа Римана-Лиувилля по пространственным и/или временной переменным. Параллельные алгоритмы построены на основе двухсеточного подхода. При этом грубая сетка используется для расчета эффектов пространственного и временного дальнодействия с использованием сплайн-аппроксимации, а мелкая сетка служит для конечно-разностной дискретизации решаемых уравнений. Рассматриваются алгоритмы с декомпозицией как по пространству, так и по времени. Для распараллеливания по времени используется подход, предложенный в известном алгоритме PARAREAL. Приводятся теоретические оценки параллельной эффективности предложенных алгоритмов. Показано, что алгоритмы имеют сверхлинейное ускорение по сравнению с классическим последовательным конечно-разностным алгоритмом и обеспечивают тот же порядок точности вычислений при условии согласованного выбора шагов точной и грубой сеток. Также приводятся некоторые результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов. New parallel algorithms are proposed for solving the initial-boundary value problems for anomalous diffusion equations with the Riemann-Liouville spatial- and/or timefractional derivatives. A two-grid technique is employed to construct these algorithms. Spline-approximation on a coarse grid is used to compute the spatial and time long-range effects, and a fine grid is used for finite-difference discretization of the fractional diffusion equations. The parallel algorithms with a spatial and a time domain decomposition are discussed separately. The approach originally developed for the Parareal algorithm is used for time domain decomposition. The theoretical estimates of the speed-up and efficiency of the proposed algorithms are given. It has been shown that the algorithms have a superlinear speed-up in comparison with a classical sequential finite-difference algorithm, and have the same accuracy if the size of a fine grid is agreed with the size of a coarse grid. Some computational results are also presented to verify the efficiency of the proposed algorithms