О картине разрешимости однородной краевой задачи Гильберта для квазигармонических функций в круговых областях

Abstract

Рассматривается краевая задача типа задачи Гильберта в классах квазигармонических функций. Разработан метод решения в явном виде однородной задачи Гильберта для квазигармонических функций первого рода в круговых областях. Кроме того, установлено, что картина разрешимости рассматриваемой задачи существенно зависит от того, является ли носителем краевых условий единичная окружность или окружность неединичного радиуса. A Hilbert-type boundary value problem in the classes of quasi-harmonic functions is considered. Using the fact that a circle is an analytic curve, we have developed an explicit method for finding solutions of the Hilbert homogeneous boundary value problem for quasi-harmonic functions in circular domains. The principal logic of this method consists of two stages. At stage one we are using a representation of quasi-harmonic function via analytic function and its derivatives to reduce the problem to the classical Hilbert problem for some auxiliary analytic function in the circular domain. A solution Φ(z) for this problem will be used at stage two, when we solve the linear differential Euler equation of order n with the right-hand side Φ(z). General solution for the problem can be explicitly expressed in terms of the solution of the Euler equation. Moreover, we have established that the solvability for the considered boundary-value problem depends essentially on whether a unit circumference is the carrier of boundary conditions or a non-unit circle.