Формализации задач погрузки и доставки

Abstract

Задачи маршрутизации типа «one-to-one» или Traveling Salesman Problem with Pickup and Delivery (TSPPD) заключаются в формировании цикла минимальной длины, обеспечивающего доставку грузов от производителей потребителям при условии доставки груза от каждого производи- теля конкретному потребителю. Такая задача, в частности, возникает при доставке пассажиров (например, таксопарком). Установлены некоторые свойства поставленной задачи. Построен ряд квадратичных, линейных целочисленных и частично целочисленных формализаций таких задач, в которых число ограничений растет полиномиально с ростом числа пунктов. В частности, в качестве переменных используются булевы элементы матрицы перестановки, двухиндексные и трехиндексные переменные, описывающие отношение предшествования и некоторые другие. При таких формализациях возможно непосредственное использование оптимизационных пакетов. В частности, был проведен вычислительный эксперимент с использованием пакета CPLEX 12.6. Рекордной по производительности на случайно сгенерированных данных оказалась линейная смешанная трехиндексная модель. Установлено, что добавление некоторых дополнительных ограничений существенно повышает эффективность решения, в то время, как использование некоторых других ограничений эффективность снижают. В ряде случаев фактором, препятствующим решению задачи большей размерности, явилась ограниченность оперативной памяти. При некоторых дополнительных ограничениях задача решалась для множеств пунктов, предлагаемых библиотекой, предложенной в университете г. Гейдельберга (Германия). В этом случае при использовании линейной смешанной трехиндексной модели получены решения задач весьма большой размерности (до 391 пары пунктов). Перспективы применения моделей, предложенных в статье, заключаются в расширении оперативной памяти компьютеров и совершенствовании оптимизационного пакета CPLEX. Некоторые исследователи отмечают, что CPLEX 11 (2007) работает почти в 30 000 раз быстрее, чем CPLEX 1 (1991). The problems of routing like ONE-TO-ONE or Traveling Salesman Problem with Pickup and Delivery (TSPPD) consist in forming a cycle of the minimal length that guarantees a shipment from manufacturers to customers in case of the shipment from each producer to a specific customer. In particular, the problem occurs in case of delivery of passengers (for example, by a taxi company). Some properties of the set problem are specified. The range of quadratic, integer linear and mixed integer linear formalizations of such problems, in which the number of limitations grows polynomially with the increase in the number of points, is considered. In particular, Boolean elements of a permutation matrix, two-index and three-index variables, which describe a precedence relation, are used as variables. In the context of such formalizations it is possible to use optimization packages. We have conducted the computational experiment with the help of CPLEX 12.6 package. The mixed integer linear three-index model was record-breaking in terms of productivity based on randomly generated data. It’s found out that some additional limitations significantly improve the effectiveness of a solution. Meanwhile, the use of some other restrictions negates the effectiveness. In most cases the limitedness of RAM is a factor which hinders the solution of high dimension problems. In case of some additional restrictions the problem is solved for a set of points, suggested by a library proposed by Heidelberg University (Germany). When using the mixed integer linear model, solutions of extremely high dimension problems are obtained (up to 391 pairs of points). The prospects of applying these models consist in RAM expansion and improvement of CPLEX optimization package. Some scholars note that CPLEX 11 (2007) works 30 000 times faster than CPLEX 1 (1991).