О неустойчивости решений однородной краевой задачи Римана для квазигармонических функций в круговых областях

Abstract

Рассматривается краевая задача типа задачи Римана (задача сопряжения) в классах кусочно квазигармонических функций. Подробно исследуется однородная задача типа задачи Римана в классах кусочно квазигармонических функций второго рода в круговых областях. В частности, в указанном случае для однородной задачи типа задачи Римана разработан явный метод решения, логическая суть которого состоит в сведении решения рассматриваемой однородной задачи к последовательному решению обычной однородной задачи Римана для аналитических функций и двух линейных дифференциальных уравнений Эйлера второго порядка. Кроме того, установлена неустойчивость решений искомой однородной задачи по отношению к изменению величины радиуса рассматриваемой круговой области, а также построена полная картина её разрешимости при различных значениях индекса задачи и величины радиуса круговой области. Доказано, что основной причиной неустойчивости решений однородной задачи типа Римана в классах кусочно квазигармонических функций второго рода в круговых областях по отношению к изменению величины радиуса рассматриваемой круговой области является тот факт, что число линейно независимых аналитических решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера, к которым редуцируется исследуемая задача типа Римана, существенным образом зависит от величины радиуса рассматриваемой круговой области. We consider the boundary value problem of Riemann type (the conjugation problem) in the classes of piecewise quasiharmonic functions. A homogeneous problem of a Riemann type problem in the classes of piecewise quasiharmonic functions of the second kind in circular domains is studied in details. In particular, in this case a clear solution method is developed for a homogeneous problem of Riemann type, the logical essence of which consists in reducing the solution of the homogeneous problem under consideration to a sequential solution of the common homogeneous Riemann problem for analytic functions and two second-order linear differential Euler equations. Moreover, instability of the solutions of the homogeneous problem is determined with respect to the change in the radius value of the considered circular domain, and a complete picture of its solvability for different values of the index of the problem and the radius of the circular domain is constructed. It is proved that the main reason for the instability of the solutions of a homogeneous problem of Riemann type in classes of piecewise quasiharmonic functions of the second kind in circular domains with respect to the change in the radius value of the considered circular domain is the fact that the number of linear independent analytic solutions of homogeneous differential Euler equations, to which the desired Riemann type problem is reduced, depends essentially on the radius of the considered circular region. In this paper we use the methods of the theory of functions of a complex variable, the theory of integral equations, and the analytic theory of differential equations.