Исследование метода Пикара при решении обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности

Abstract

В данной работе поставлена и решена обратная задача Коши для уравнения теплопроводности. В этой задаче начальное распределение температуры неизвестно, а вместо него дано распределение температуры в момент времени t = Т > 0. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Хорошо известно, что данная задача некорректно поставлена. Для решения прямой задачи используется метод разделения переменных. Заметим, что метод разделения переменных совершенно неприменим для решения обратной задачи Коши, так как приводит к достаточно большим погрешностям, а также к расходящимся рядам. В.К. Иванов заметил, что если обратную задачу решать методом разделения переменных, а затем полученный ряд заменять частичной суммой ряда, у которой число слагаемых зависит от δ, N = N(δ), то в результате получим устойчивое приближенное решение. Метод Пикара использует регуляризующее семейство операторов {RN}, отображающих пространство L₂ [0,1] в себя. Приведены результаты вычислительных экспериментов и произведена оценка эффективности данного метода. In this paper, the inverse Cauchy problem for the heat equation is posed and solved. In this problem, the initial temperature is unknown, and instead of it, the temperature at a specific time is given, t = T > 0. They are characterized by the fact that arbitrarily small changes in the source data can lead to large changes in the solution. It is well known that this problem is an ill-posed problem. In order to solve the direct problem, the method of separation of variables is used. We noticed that the method of separating variables is not applicable to solving the inverse Cauchy problem since it leads to large errors, as well as to divergent rows. V.K. Ivanov noted that if the inverse problem is solved by the method of separation of variables, the resulting series is replaced with a partial sum of a series, where the number of terms depends on δ, N = N(δ). The Picard’s method uses the regularizing family of {RN}, operators mapping the L₂[0,1] space into itself. The results of computational experiments are presented and the effectiveness of this method is estimated.