Correlations between elements and sequences in a numerical prism

Abstract

A numerical prism, previously introduced by the author as an ordered set regarding the research of a three-parameter probability distribution of the hy-perbolic-cosine type, which is a generalization of the known two-parameter Meixner distribution, is being considered. In geometry-related terminology, ele-ments of a numerical prism are the coefficients of moment-forming polynomials for the specified distribution, which are obtained with the use of both differential and algebraic recurrence correlations. Each one of the infinite number of elements depends on three indices deter-mining its position in a prism. Fixation of one or two indices results in cross-sections of the prism, which are numerical triangles or sequences. Among them, there are such well-known cross-sections as the Stirling number triangle, number triangle of coefficients in the Bessel polynomials, sequences of tangent and secant numbers, and others. However, the majority of numerical sets in the prism’s cross-sections have never been described in literature before. Considering the structure and construction algorithm, cross-sections of the numerical prism turn out to be interconnected not only by the general construc-tion formula but also by certain correlations. As a result, formulas of connection between various groups of elements are presented in the article. In particular, expansion of secant numbers for the sum of products grouped by the number of tangent numbers’ cofactors with specification of corresponding coefficients in the expansion, representation (automatic expression) of elements of a sequence of al-ternating secant and tangent number through the previous ones, as well as a number of other correlations for the sequences and particular elements is deter-mined. Рассматривается числовая призма, ранее введенная автором как упорядоченное множество связи с исследованием трехпараметрического вероятностного распределения типа гиперболического косинуса, являющегося обобщением известного двухпараметрического распределения Майкснера. В геометрической терминологии элементы числовой призмы – коэффициенты моментообразующих полиномов для указанного распределения, которые получаются с помощью как дифференциальных, так и алгебраических рекуррентных соотношений. Каждый из бесконечного количества элементов зависит от трех индексов, которые и определяют его местоположение в призме. При фиксировании одного или двух индексов получаются сечения призмы: числовые треугольники или числовые последовательности. Среди сечений имеются широко известные, например, числовой треугольник Стирлинга, числовой треугольник коэффициентов в полиномах Бесселя, последовательности тангенциальных и секаскансных чисел и др. Однако подавляющее большинство числовых множеств в сечениях призмы ранее в литературе не встречались. Ввиду структуры и алгоритма построения, сечения числовой призмы оказываются связанными между собой не только общей формулой построения, но и определенными соотношениями. Как результат, в статье представлены формулы связи между различными группами элементов.