Аннотации:
Рассматривается бигармоническое уравнение в области прямоугольной формы, когда краевые условия являются смешанными. Численное решение этой краевой задачи использует итерационную факторизацию на фиктивном продолжении после конечно-разностной аппроксимации решаемой задачи. В конечном итоге все сводится к решению линейных систем алгебраических уравнений, матрицы, которых треугольные с количеством ненулевых элементов в строках три и менее. Если погрешность аппроксимации исходной задачи достаточно мала, то требуемая относительная погрешность используемого итерационного процесса получается в несколько итераций. Разработанный итерационный метод оказывается в этом случае методом, имеющим оптимальную асимптотику по количеству действий в арифметических операциях. Предложенный итерационный метод существенно использует особенности найденной модельной задачи. Такая задача может возникать в методах типа фиктивных компонент, областей, пространств, когда решаются краевые задачи с эллиптическими уравнениями в областях достаточно произвольной формы. Приводится алгоритм при реализации и терационного процесса, когда выбор итерационных параметров производится автоматически при использовании метода минимальных поправок. Указывается критерий остановки процесса при достижении указываемой заранее относительной погрешности. Приведен графический результат вычислительного эксперимента, подтверждающего асимптотическую оптимальность итерационного метода в вычислительных затратах. Разработка метода существенно использует комплексный анализ. The biharmonic equation in a domain of rectangular shape when boundary conditions are mixed is being considered. Numerical solution of this boundary value problem uses iterative factorization on fic-titious continuation after finite-difference approximation of the problem to be solved. Eventually, every-thing is reduced to solving the linear systems of algebraic equations, the matrices of which are triangular with three or less nonzero elements in lines. If approximation error of the initial problem is sufficiently small, the demanded relative error of the used iterative process gets obtained in several iterations. In this case, the developed iterative method turns out to be the method that has optimal asymptotics by the number of actions in arithmetic operations. The proposed iterative method essentially uses specificities of the obtained model problem. Such a problem can arise in methods of the type of fictious components,regions and spaces, when boundary value problems with elliptic equations in the regions of sufficiently arbitrary shape are being solved. The algorithm at implementation of the iterative process, when the choice of iterative parameters is made automatically using the method of minimal corrections, is given. The criterion for process termination after achieving the preliminarily determined ratio error is specified. Graphic result of a computational experiment that proves the asymptotic optimality of the iterative method in computational outlay is given. Complex analysis gets essentially used when developing the method.
Описание:
А.Л. Ушаков Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: ushakoval@susu.ru
A.L. Ushakov South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: ushakoval@susu.ru