Acceleration of summation over segments using the fast Hough transformation pyramid

Abstract

In this paper, we propose an algorithm for fast approximate calculation of the sums over arbitrary segments given by a pair of pixels in the image. Using the results of intermediate calculations of the fast Hough transform, the proposed algorithm allows to calculate the sum over arbitrary line segment with a logarithmic complexity depending on the linear size of the original image (also called fast discrete Radon transform or Brady transform). In this approach, the key element of the algorithm is the search for the dyadic straight line passing through two given pixels. We propose an algorithm for solving this problem that does not degrade the general asymptotics. We prove the correctness of the algorithm and describe a generalization of this approach to the three-dimensional case for segments of straight lines and of planes. В работе предложен алгоритм быстрого приближенного вычисления на изображении сумм по произвольным отрезкам, задаваемым парой пикселей. Используя результаты промежуточных вычислений быстрого преобразования Хафа, предложенный алгоритм позволяет рассчитать сумму по произвольному отрезку линии с логарифмической сложностью, зависящей от линейного размера исходного изображения. Предподсчет реализован как модификация алгоритма Брейди быстрой суммации по диадическим аппроксимациям прямых. При таком подходе ключевым элементом алгоритма является поиск диадической прямой, проходящей через два данных пикселя. В работе предложен алгоритм решения этой задачи, не ухудшающий общую асимптотику, для него доказана корректность. Также в работе описывается обобщение этого подхода на трехмерный случай для отрезков и для сегментов плоскостей.