О задаче минимальной реализации

Abstract

Предполагается, что для линейной конечномерной стационарной динамической системы Σ с дискретным временем известна степень МакМиллана δ и конечная последовательность ее марковскиx параметров Gh ..., Gm, m > 2δ. Рассматриваются задачи восстановления по этим данным переходной матрицы-функции G(z) системы, минимальных индексов и взаимно простых дробных факторизаций G ( z ), минимальных решений соответствующих уравнений Безу, минимальной реализации Σ. Для каждой из них существует отдельный алгоритм решения. В данной работе предлагается единый подход к исследованию этих проблем. Он основан на методе индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Этот метод был ранее разработан для явного решения задачи факторизации Винера - Хопфа мероморфных матриц - функций. Показано, что решение всех вышеуказанных задач может быть получено, как только будут найдены индексы и существенные многочлены последовательности Gu...,Gm. Вычисление индексов и существенных многочленов можно осуществить средствами линейной алгебры. Для матриц с элементами из поля рациональных чисел алгоритм реализован в среде Maple в виде процедуры ExactEssPoly. It’s supposed that for a discrete-time linear time-invariant system Σ the McMillan degree δ and a finite sequence of the Markov parameters Gu ..., Gm, m > 2δ, are known. The problems of reconstruction a transfer function G(z) of the system, minimal indices and coprime fractional factorizations of G(z), minimal solutions of the appropriate Bezout equations, the minimal realization of Σ from these dates are considered. There are various algorithms to solve each of these problems. In the work we propose an unified approach to study the problems. The approach is based on the method of indices and essential polynomials of a finite sequence of matrices. This method was developed in connection with the problem of an explicit construction of the Wiener - Hopf factorization for meromorphic matrix functions. It is shown that we can obtain the solutions of all the above problems as soon as we find the indices and essential polynomials of the sequence Gu ..., Gm. The calculation of the indices and essential polynomials can be realized by means of linear algebra. For matrices with entries from the field of rational numbers we have implemented the algorithm in procedure ExactEssPoly in Maple.